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378 GINO FANO 
E perciò possono prendersi ancora ad arbitrio i primi tre fasci 
ma non più (almeno completamente) la proiettività fra di essi. 
Possiamo invece procedere così. Presi comunque i tre fasci di 
rette A, (a), As (02), A: (03), si scelgano ancora ad arbitrio il 
punto A, e il cono singolare della congruenza uscente da questo 
punto, ossia un.cono quadrico avente per generatrici A, A,, 
A, As, A4A3 (il che implica soltanto 3+2=5 parametri, 
mentre la proiettività fra i tre fasci dipende da sei parametri). 
Allora le terne di raggi dei fasci A, (a,), A. (03), Az (03) che si 
appoggiano alle singole generatrici del cono quadrico A, si cor- 
risponderanno in una proiettività, e determineranno co! rigate 
quadriche costituenti una congruenza (3,3) di genere sezionale 
due. In questa congruenza saranno certo contenuti 12 fasci di 
rette, tre coni quadrici di vertici A,, A», A3, tre inviluppi qua- 
drici nei piani 0,0, 0g, e, per costruzione, il cono À,y dianzi 
considerato. Inoltre, se sopra una qualunque delle co! rigate 
quadriche contenute nella congruenza consideriamo la direttrice 
rettilinea uscente da A,, vediamo che dalla rigata RS delle rette 
della congruenza che si appoggiano a questa direttrice si stac- 
cano quella stessa rigata quadrica e il cono A,: resterà dunque 
un’altra rigata quadrica, tale però che da ogni punto della diret- 
trice considerata ne escano due generatrici; e questa non potrà 
essere che un (quarto) inviluppo piano o,. Nel piano di questo 
inviluppo staranno le direttrici uscenti da A, di tutte le co! 
rigate quadriche della congruenza. Ed è questo il modo più 
generale di costruire la congruenza (3,3) di cui trattasi (!). 
Questa congruenza (3,3) è contenuta in sei complessi tetrae- 
drali; potendo concepirsi come congruenza cremoniana di Hirst 
(n° 3) in altrettanti modi diversi, col combinare a due a due i 
4 piani a; Essa fu anche considerata dal sig. MontEsANO nella 
sua Memoria cit. (n° 5). 
Sopra uno qualunque dei piani a, essa si rappresenta bira- 
zionalmente, in modo che alle rigate sue intersezioni coi com- 
plessi lineari corrispondono curve di 4° ordine aventi a comune 
un punto doppio (A;) e 6 punti semplici. Questi ultimi non sono 
in posizione affatto generale; ma devono soddisfare a una con- 
‘ (®) Altre generazioni di questa congruenza mi sono state comunicate dal 
Dott. C. CarRONE, il quale si propone di esporle in un prossimo suo lavoro. 
