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SULLA RAPPRESENTAZIONE ANALITICA DELLE FUNZIONI ECC. 483 
In base ad un noto teorema, per ogni valore v' di v, si ha 
pertanto che le 
(1) Y(2) (V=v,v+1,..., 0) 
costituiscono una successione di funzioni, aventi un limite supe- 
riore finito per i loro valori assoluti ed egualmente continue nel- 
l'intervallo (e — 4, ... xo + 4y), nel quale ammettono quindi 
una funzione limite continua (*). 
È facile vedere che questa funzione limite è unica e coin- 
cide colla y(x), definita dall’equazione 
f(e,y) = 6; 
in modo che risulta tendere le (1) in egual grado ad y(x) nel- 
l'intervallo (x) — ly ... to + lw). Detta infatti v(x) una funzione 
limite della successione (1) si riconosce senza difficoltà (**) che 
la f(&, v(x)) è una funzione limite della successione 
R,(©, Y(2)), Ry4a(&, Ya), +++3 Riepy(&, Yyn+(0)), -.... 
Da questa successione se ne può allora estrarre un’altra 
R,,(£, Yng(0)), Ruga (€ Yen sal), 00 Rergo(® Yay. ul) 
convergente in egual grado ad f(x, (2). 
Ma in ogni punto di (rr — hw... zo + hwy) risulta: 
R.(%, y(€)) na R, (o, Yo) (v “ai v', VIE d, 00, 90 ) 
ed inoltre: 
lim BR}, (70, Yo) = È; 
v—=% 
è quindi chiaro che ivi si dovrà avere: 
f(@, 0(2)) = C. 
Ciò dimostra quanto noi abbiamo sopra asserito; e se ne 
deduce senz’altro il teorema enunciato in principio: l’intorno di 
(*) Cfr. Arzerà, Sulle serie di funzioni; “ Memorie dell’Acc. delle Sc. di 
Bologna ,, 1899. 
(**) Cfr. mia Nota: Sull’integrazione delle equazioni differenziali ordinarie 
del 1° ordine; “ Rendiconti del R. Ist. Lomb. di sc. e lett. ,, 1898. 
