AGGIUNTA ALLA NOTA SULLE CORRISPONDENZE (pp), Ecc. 611° 
1° Se sopra una curva del genere 5 esiste una corrispon- 
denza speciale (5,5) di valenza 1 (*), ogni punto X della curva, preso 
insieme ai suoi cinque punti Y corrispondenti, dà un gruppo di una 
serie speciale (completa) gs della curva, e ogni punto Y, preso 
insieme ai suoi cinque punti X corrispondenti, dà un gruppo di 
una seconda serie speciale (completa) Gi appartenente alla curva 
medesima. Ne segue, che, se rappresentiamo la curva mediante 
una curva piana C del 6° ordine con cinque punti doppî e la gî 
mediante la serie segata su C dalle rette del suo piano, le quin- 
tuple di punti Y corrispondenti ai varii punti X di C saranno 
situate su rette, passanti pei punti medesimi e costituenti un 
(vero e proprio) inviluppo T di 6° classe in corrispondenza bi- 
univoca prospettiva con 0. 
I gruppi di tangenti di questo inviluppo, che passano pei 
varii punti del piano, formano una serie lineare, che ha per omo- 
loga sulla curva C precisamente la serie Gi contenente le se- 
stuple formate dai punti Y di C insieme ai relativi cinque punti 
X corrispondenti, perchè se Y è un qualunque punto di C le 
sel rette dell’imviluppo che passano per Y sono appunto le sei 
rette relative al punto Y e ai suoi cinque punti X corrispon- 
denti. Quindi, se si considera la rete delle cubiche (aggiunte a C), 
che passano (fuori dei punti doppii) per due certi punti fissi 
P e Q di C e segnano su C la serie Gî, l’inviluppo l si può 
ottenere dalla curva C applicando a questa una determinata 
trasformazione doppia dei punti del piano di C nelle rette del 
piano medesimo, il piano doppio essendo il piano rigato. 
Ora si osservi, che quando si fa una tale trasformazione 
doppia le rette, che contengono uno dei due loro punti corri- 
spondenti formano un inviluppo, che in generale è soltanto della 
5* classe, perchè mentre una retta del piano rigato descrive un 
fascio la coppia di punti corrispondenti si muove sopra una cu- 
bica, segnando su di essa una 9}; dunque la nostra particolare 
trasformazione doppia è tale, che ogni retta contiene la coppia 
dei punti omologhi, e nasce dalla involuzione (di 8° ordine con 
(*) Beninteso qui sono escluse le corrispondenze (5, 5) di valenza 1, che 
si ottengono considerando una serie speciale g's della curva e chiamando 
omologhi di un punto X i cinque punti, che insieme ad esso ne completano 
un gruppo. 
