684 ÉMILE PICARD — SUR LES SYSTÈMES LINÉAIRES, ETC. 
LETTURE 
Sur les systèmes linéwires de genre zéro 
par M" ÉMILE PICARD. 
(Extrait d'une lettre adressée à M” SeaRE). 
Permettez-moi, à l’occasion de votre bel article sur la ré- 
ductibilité des transformations Crémoniennes et des systèmes 
linéaires de courbes planes, de vous faire une remarque, qui a 
d’ailleurs un intérét purement historique. Je crois m’étre occupé 
le premier de la réductibilité des systèmes linéaires de genre 
zéro dans un article déjà bien ancien de la Société Philoma- 
thique (1878), et dans un mémoire du Journal de Crelle, t. 100; 
cette question s’était présentée è moi dans la recherche des 
surfaces dont toutes les sections planes sont unicursales. J'ad- 
mettais implicitement qu’un système complet de genre zéro est 
régulier. La démonstration de ce résultat aurait pu se déduire 
de mon analyse, mais elle est intuitive, comme on peut le voir 
à la page 58 du premier fascicule du tome II de ma Théorie 
des fonctions algébriques de deux variables, paru l'année dernière. 
Considérons en effet un système complet de genre <éro et d’ordre n, 
et supposons, comme il est permis, que les courbes aient seu- 
lement, en fait de singularités, des points multiples ordinaires 
d’ordre \. On aura d’abord la relation 
x RINEZSAII) das (a 1)(n_-2) 
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et, en désignant par r la dimension du système et par D son 
degré, on a en outre 
D=a—- 2, 
r=DH+14+6; 
la surabondance e étant nulle si le système est régulier. On va 
voir de suite que e est nul. En effet, prenons D+ € points ar- 
