SU ALCUNE SUCCESSIONI DI MEDIE ARITMETICHE, ECC. 705 
$ 11. — Applicazioni geometriche. 
Considerando gli elementi delle successioni numeriche reali 
come coordinate di elementi di una forma geometrica di 1? specie, 
raccogliamo delle interpretazioni geometriche dei risultati dianzi 
ottenuti. 
. Se gli elementi sono ascisse di punti di una retta, abbiamo 
dalle prime tre successioni: 
Data una successione di punti di una retta, ciascuno medio 
fra è due precedenti, vi è un punto limite destro, che divide nel 
rapporto 2:1 la distanza dei due punti iniziali, e il punto all’in- 
finito è il limite sinistro. 
Una successione di punti di una retta, ciascuno coniugato 
armonico di un punto fisso rispetto ai due precedenti, ha un punto 
limite destro, ed ha per punto limite sinistro il punto fisso. 
Questo teorema comprende come caso particolare il prece- 
dente, poichè il punto medio fra due punti è il coniugato armo- 
nico del punto all'infinito rispetto ad essi. 
Siano ara',, a,a'» due coppie di punti di una retta, che ab- 
biano lo stesso punto medio 0; sia aza'3 la coppia armonica con 
le qua», a' 10'3; asa', la coppia armonica con le asaz, a'sa'3; e così 
via. Sì possono supporre a,, 4, 43 ... in una delle due semirette 
uscenti da oe a',, a's, a'3,... nell'altra; allora gli uni e gli 
altri hanno un punto limite, e i due punti limiti sono equidistanti 
da o. Se poi le successioni a, ds, ... ed a',, a'3, ... si prolungano 
a sinistra, gli elementi d’indice dispari han per limite o e quelli 
d’indice pari il punto all'infinito. 
Interpretando gli elementi delle successioni numeriche reali 
come coordinate tangenti di rette di un fascio o di piani di un 
fascio, si hanno teoremi analoghi a questi. 
La relazione di armonia essendo proiettiva, possiamo all’ul- 
timo enunciato sostituire uno più generale: 
Sia 00' una coppia di elementi di una forma di 1 specie, e 
qa',, asa', due coppie armoniche con oo. Vi è una coppia aza'; 
armonica com 00', ara», a'1a'»; e così via. La successione di coppie 
ma',, 4,0», A30'3, ... si può prolungare indefinitamente a destra 
ed a sinistra; inoltre si possono supporre tutti gli elementi a ca- 
denti in uno dei due segmenti 00' e gli a' nell'altro. Allora gli a 
