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hanno un unico limite destro, mentre a sinistra quelli d’ indice 
dispari hanno per limite o e quelli d’indice pari o'. Lo stesso di- 
casi degli a'. E i limiti destri degli a e degli a' sono coniugati 
armonici rispetto a 0 e d'. 
Passando alle successioni 4% e 5, troviamo: 
In una forma di 1* specie siano dati due elementi 0, 0' ed 
altri due a,, bj sia as il coniugato armonico di 0 rispetto ad abi; 
b, quello di 0' rispetto a bi, a:; 43 quello di 0 rispetto ad az; ba, bg 
quello di o' rispetto a bs, az; e così via. La successione a, di, da, da; 
si può prolungare indefinitamente a destra ed a sinistra; gli a e 
i b hanno un comune punto limite destro, mentre a sinistra gli @ 
han per limite 0 ed i b d'. 
Le successioni 6° e 9% dànno luogo al seguente teorema: 
In una forma di 1° specie sia 00' una coppia di elementi ed 
a1a',, bib', altre due coppie armoniche con 00'. Sia a» il coniugato 
armonico di 0 rispetto ad ab, ed a'; quello di 0 rispetto ad a';b'x. 
Vi è una coppia b,b', armonica con 00', ba:, bd'a';. Sia poi az il 
coniugato armonico di 0 rispetto ad a,b», e a'3 quello di 0' rispetto 
ad a'b',; e sia b3b's la coppia armonica con 00', baz, b',a'.. Così 
proseguendo si hanno le due successioni ar, di, dr, dba, ... 2A, bi, 
a's, dè, .... Entrambe hanno un limite destro e i due limiti sono 
coniugati armonici rispetto ad 00', quando si suppone che la prima 
cada tutta in uno dei segmenti 00' e la seconda nell'altro. 
Le successioni 7% e 8* dànno: 
Alle medesime conseguenze si giunge quando asa's è armonica 
con 00", ab, a'd',, mentre bi e bd's sono i coniugati armonici di 
o eo' rispetto a bas e b'a',, e così via alternamente. 
La successione di Gauss e quella che individua la media 
armonico-geometrica porgono : 
In una forma di 1° specie sia 00° una coppia di elementi e 
aa',, bb', due coppie armoniche con 00'. Siano as, a'» coniugati 
armomici di 0, 0' rispetto a ab, a' dij vi sarà una coppia bsb's 
armonica con 00°, ab, a'\0',. Siano poi az, a'3 coniugati armonici 
di 0, o' rispetto a a>b;, a's d's, e byb'3 la coppia armonica con 
00, dsbs, a'sb'. Così proseguendo si ha una successione di coppie 
ma'i, bib'i, d30'3; ..., che può prolungarsi indefinitamente a destra 
ed a sinistra. Si può supporre che le due successioni parziali 
0) Oy, Agj 0 0 + day day... cadano in un solo dei due segmenti 
oo':\e levaltre «dite Vi; dr, La erro d'ipi 05; anelli altnoi 
