INTEGRAZIONE DI SISTEMI DI EQUAZIONI DIFFERENZIALI ‘709 
E poichè un sistema d’ordine n di equazioni differenziali 
può ridursi ad una sola equazione differenziale d’ordine » (*) e 
l’esistenza degli n integrali fondamentali e quindi dell’integrale 
generale di questa è dimostrata (formula di LIOUVILLE), così 
sarebbe dimostrata l’esistenza del sistema integrale delle (1). 
Allo stesso scopo servirebbe per & = 1 il teorema: Cono- 
sciute k soluzioni indipendenti (k < mn), l'integrazione del sistema 
proposto si riduce a quello d’un sistema analogo d’ ordine n—k 
ed a k quadrature. 
Epperò una dimostrazione rigorosa e diretta di tale esistenza 
(univoca), nel caso in cui le funzioni e le variabili siano quan- 
tità reali, venne data per la prima volta nel 1844 dal Cauca (**). 
Dimostrazione che venne semplificata nel 1868 dal Lipscnitz (***) 
per avere posto in evidenza le ipotesi necessarie alla dimostra- 
zione. Condizioni per detta esistenza sono le seguenti: 
Restando x nell’intervallo a e le 4: ...y, nell'intervallo d 
ed essendo le fi ...f,, funzioni delle quantità reali <,%., Ye... Yn 
per ciò non si annulli identicamente il loro determinante (****), 
siano le fi, ... f, funzioni continue in detti intervalli ed inoltre, 
ferma restando la x, s'abbia a potere determinare » quantità 
positive: A, B, ... L (se il sistema è dell’ordine n) tali che: 
(2) | f(2,4 14", cY n — file: 29 i) | <A | Y TY | È 
ana: Pralina AR 
Questo metodo però, oltre all’offrirci più condizioni del ne- 
cessario non ci offre una via per conseguire tale ricerca. E rima- 
nendo nel campo di variabili reali, dobbiamo pel primo al 
PrANO (*****) 1887, un tale processo, quantunque PrcArD non lo 
ricordi in occasione d’analoga sua ricerca per l'equazione di 
1° grado (******) nel 1890 cioè 3 anni dopo, nè per simili ricerche 
(*) Moreno, vol. II, pp. 683. 
(**) Per cura di M. Moreno, Lecons de calcul différentiel et intégral. 
(***) Liprscatz, Lehrbuch der Analysis. - In., * Annali di Matematica ,, 
serie 2, t. I. 
(****) Beitriige zur Theorie der Variation der einfachen Integrale (“ Giorn. 
di Crelle-Borchardt ,, t. 65, pp. 26). 
(*****) Peano, “ Atti della R. Accad. delle Scienze di Torino ,, XXII. 
(******) Prcarp, “ Journal de Mathém. ,. 
