712 ANTONINO VACCARO 
Il PrANo anzi nel 1892 (*) ritorna sul metodo del PicAaRD 
e dimostra come per l’esistenza del sistema integrale non è 
necessaria l'ipotesi (2), anzi è ammettendola (**) che se ne de- 
duce non solo l’esistenza, ma anche l’unicità. 
Il campo per d < può certe volte allargarsi (LIiNDELOF, 
1. c.) e sparire financo la 2* delle condizioni (3) e precisamente 
se le funzioni f sono finite e ben determinate per x compreso 
nell'intervallo @ e y....y, nell'intervallo (— 0, + 0) e sia 
| dfi 
ea 
ik=lin 
Questo risultato, quantunque semplicissimo, presenta gran- 
dissimo interesse, poichè in generale è impossibile sapere ciò 
che avviene degli integrali fuori d’un campo limitatissimo. 
Il sistema integrale esiste sempre, sia che le derivate par- 
ziali del 1° ordine positive crescano, sia che decrescano con 
Y:---Yn, allorchè le fi ...f, crescono con queste (***). 
$ 3. — Nel caso in cui le fi...f, siano funzioni olomorfe, 
l’integrale esiste sempre e non ne esiste che uno. Tale dimostra- 
zione venne data pel primo dal CaucHY col calcolo dei limiti (****). 
I francesi BrIor-Bouquer (*****), M. Mfray e ‘WeIERSTRASS 
in Germania, fondandosi sullo stesso principio lo applicarono 
differentemente. Questo metodo, al solito, consiste nel paragonare 
la serie rappresentante l'integrale ad un’altra evidentemente 
convergente. 
Che l’integrale si possa mettere sotto forma di serie allorchè 
le f. ...f, sono olomorfe, sviluppabili quindi in serie di potenze 
dei loro parametri, lo dimostrò il PorncARÉ (******) col calcolo dei 
(*) Prano, “ Mathematische Annalen ,, t. XXXVII. 
(**) Ip., “ Nouvelles annales de Mathématique ,, serie 3*, 1892. 
(***) Pricarp, “ Comptes rendus ,, 115. 
(****) CEuvres complètes de Cauchy, 1* serie, vol. VII. 
(*****) Brror-Bouquer, “ Journal de l’École Polytechnique ,, t. XXI. — 
Ip., Traité des fonctions elliptiques, pp. 325. 
(****#**) Porncaré, Les méthodes nouv. de la Mécanique céleste, t.I, pp. 53. 
