716 ANTONINO VACCARO 
Sicchè il metodo delle approssimazioni successive anche 
sotto questo punto di vista è vantaggioso. 
$ 6. — Il campo dell’esistenza del sistema integrale d’un 
sistema di equazione (*) può ancora allargarsi nel caso in cui 
le f.f....f, sono sempre positive per qualunque valore di x e cre- 
scenti colle y1Y2.../n, mentre le derivate parziali prime rispetto 
A Y +--Yn, necessariamente positive, decrescono. Allora queste re- 
steranno sempre minori d'un numero fisso e ci troviamo nel 
caso ricordato al $ 2. 
Per qualsiasi valore di x, l'integrale sarà rappresentato dallo 
stesso sviluppo (*). Il sistema dato ci dà, a partire da y=0, gli 
sviluppi: 
da Me 
Yi TUA ITIY ha i 
< 4 
Wi dedi | 
tutti convergenti qualunque sia la x, poichè si ha: 
YI na A Vi Ara LI nt be PE 
(7) y—% dato, y— Ya ria yi gio) RIA 
che moltiplicate fra loro dànno: 
Y— Un < TY — Wa < TY 
limy,= y 
n=Q0 
nè è necessario per le relazioni (7), cioè, per esempio, per la 
relazione: 
ph Wet 
far vedere che ci troviamo nelle condizioni del problema, poichè 
è appunto per queste condizioni che si hanno le (7); in altri 
termini dalla precedente eguaglianza si ha: 
dy — Ya) dy— n) 
da Fi da 
(*) Prcarp, “ Journal de Mathém. ,, serie IV, t. IX, 1893, $ 3. 
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