844 ERMENEGILDO DANIELE 
Non ci soffermeremo neppure a studiare che sorta di valori 
si debbano attribuire alle variabili v,v, e come vadano assunte 
le funzioni arbitrarie U, V, affinchè, a seconda delle tre specie 
di quadriche a centro, ai punti reali di S corrispondano su X 
punti pure reali: la questione non presenta d’altronde difficoltà, 
e noi procederemo a dedurre, dalle flessioni di S, le sue defor- 
mazioni più generali. 
8. — Ci gioveranno, a tale scopo, alcune osservazioni sulle 
equazioni del 2° ordine del tipo 
d°© 
dudv 
(11) Lat 4 5Î? Lep=d, 
du 
che sono integrabili col metodo di Laplace. Con a, è, c, d inten- 
diamo di indicare funzioni assegnate di v,v; per brevità poi, 
rappresenteremo il primo membro dell’equazione con F(q). 
Supponiamo che la (11) sia integrabile col metodo di La- 
place; allora se ammettiamo che degli invarianti (*): 
ò 
h= a Kiabrioasibio; hg, i 
sia nullo quello di indice r, il sistema da integrare, a cui si 
riduce l'equazione (11), è: 
d®, Ò rt 
dv Sr UrPr = Pri; = Pe B@rs1 == d,, 
in cui a, è funzione di «, d,c e loro derivate successive, mentre 
d. è funzione lineare ed omogenea soltanto di d e delle sue 
derivate rispetto a v fino alla r®, e quindi d, si annulla per 
d=0. Dal sistema precedente si trae poi: 
(12) = N+a(U+(BVdo), 
in cui s'è posto 
N=a I (8 { deu) dv, 
a= e Sardo , B na i mg ciali 
(*) Per ciò che riguarda il metodo di Laplace cfr. Darsovx, Legons ece., 
t. II, cap. II; oppure Goursar, Legons sur l’intégration des équations ou dé- 
rivées partielles du second ordre; t. II, cap. V. 
