846 ERMENEGILDO DANIELE 
La (13) mostra che se la F(9)=d è integrabile col metodo 
di Laplace, essa ammette un'integrale particolare funzione li- 
neare di U, U',...,U" (ovvero di V, V', ...); noi ricorderemo, 
poichè ci servirà tosto, che inversamente hasta che la F(p)=d 
ammetta un integrale di questa forma, affinchè sia integrabile 
col metodo di Laplace. 
4. — Applichiamo queste considerazioni al problema delle 
deformazioni infinitesime di una superficie di 2° grado estendi- 
bile, che per fissare le idee supponiamo sia un ellissoide. Le 
flessioni infinitesime di questa superficie sono date dalle (10) 
insieme colle (8): si potrà dunque calcolare mediante la (2), la 
funzione caratteristica @ di queste flessioni. Ma le (5”) e le (10) 
mostrano che la @ differisce solo pel fattore esterno > dalla. 
funzione caratteristica ©’ delle flessioni della sfera; e poichè 
in H non entrano le funzioni arbitrarie U, V, così la sarà, 
al pari di’ [vedi la (7’)], funzione lineare ed omogenea di 
U,V,U',V'!. Perciò l'equazione caratteristica delle flessioni del- 
l’ellissoide sarà ancora integrabile col metodo di Laplace; e 
poichè l’equazione caratteristica delle deformazioni più generali 
si ottiene dalla precedente, colla sola aggiunta di un termine 
noto, così la funzione caratteristica corrispondente si avrà 
dalla @ colla sola aggiunta di un termine che si calcola con 
quadrature. 
Il ragionamento ora fatto dimostra non soltanto che le de- 
formazioni dell’ellissoide estendibile si deducono con sole qua- 
drature dalle sue flessioni (poichè questo risulta subito da pro- 
posizioni ben più generali), ma indica anche in dettaglio il 
procedimento che conduce fino alle quadrature. Non resta, oramai, 
che eseguire i calcoli. 
5. — Si può avere facilmente la funzione caratteristica © 
delle flessioni dell’ ellissoide. Difatti dalle (5') e (6) si trae 
per l’ellissoide: 
H°? = — dv A?B?(1—uv)?+B?C°(u+0?—C° A(u—v)? L, 
