862 GUIDO CASTELNUOVO 
Il procedimento che così ne risulta, e che qui applico a 
dimostrare in modo rigoroso un noto teorema, il quale afferma 
che una trasformazione cremoniana tra due piani può sempre ri- 
guardarsi come prodotto di un numero finito di trasformazioni 
quadratiche, ha veramente una portata molto più larga; ma io 
non voglio varcare i limiti che mi sono assegnato, per non in- 
vadere un campo in cui ora sta lavorando uno studente della 
Università di Roma. 
Sia |C"| un sistema lineare, almeno 001, di curve razionali 
irriducibili, d'ordine » che supporremo superiore a 2. Il sistema 
sia determinato dai punti base, cioè sia composto di tutte le 
curve di quell’ordine che passano per 4 + 1(=1) punti base 
06; 0; ..-, 0 con molteplicità fisse 00,0, ..., 0; poniamo che 
queste siano scritte in ordine di grandezza decrescente, di 
guisa che 
Gp Oi ..-. Ue. 
I detti punti base possono del resto essere o distinti (punti 
multipli ordinari), o in parte o tutti infinitamente vicini (com- 
ponenti una o più singolarità nel senso di NéòTHER); l'una e 
l’altra ipotesi vengono trattate nello stesso modo, e perciò non 
sono mai staccate nel seguito. 
Esprimendo che il genere della C" generica è zero, e che 
due C* si segano in D20 punti variabili, troviamo le relazioni 
= i=k 
(1) (n —1)(m_2) -Za;(ao,—1)=0, na —Zoaf= D, 
ei 
i=0 
dalle quali deduciamo subito 
i=k 
(2) In —Za=D+2. 
i=0 
Ciò premesso, introduciamo la nozione di sistema d’indice 
1, 2... aggiunto ad un sistema lineare assegnato |l"|, o ad una 
sua curva C". Per sistema aggiunto d’indice 1, si intenderà l’or- 
dinario aggiunto d’ordine n —3, che è costituito dalle curve 
d'ordine n—3 passanti a —1 volte per ogni punto base a-uplo 
stadi 
