LE TRASFORMAZIONI GENERATRICI DEL GRUPPO CREMONIANO, ECC. 863 
del sistema primitivo: similmente l’aggiunto d’indice 2 sarà 
l’aggiunto d’ indice 1 preso rispetto all’ aggiunto d’indice 1, 
vale a dire il sistema delle curve d’ordine n—6 costrette a 
passare a—2 volte per ogni punto base a-uplo di |C"|, quando 
a > 2, e non vincolate affatto dai punti base doppi o semplici; 
in generale, l’ aggiunto d’ indice j sarà formato dalle curve 
d'ordine n—3j che sono costrette a passare a—) volte per 
ogni punto base di 1 C"|, avente la molteplicità a > j, e che non 
sono vincolate affatto dai punti base di molteplicità inferiore. 
Se in particolare la curva di partenza C* è razionale, come 
supponiamo, allora manca certamente il sistema aggiunto d’in- 
dice 1; ma di qua non segue che debbano pure mancare gli 
aggiunti di indice superiore; anzi può accadere il contrario 
se C" è una curva razionale isolata (si pensi ad es. alla curva 
(m—1)(—2) 
2 
d'ordine n >6 con punti doppi). Io dico però che 
“se la curva razionale C" è curva generica di un sistema li- 
“ neare, almeno 004, allora certamente mancano i sistemi ag- 
“ giunti di tutti gli indici ,. 
La dimostrazione si ottiene subito calcolando il numero 
delle intersezioni, fuori dei punti base, di C” con una aggiunta 
d’indice j, supposta esistente; quel numero risulta negativo, e 
da ciò segue che la detta aggiunta non può esistere. Per ese- 
guire il calcolo, supponiamo che tra i numeri @9,0,,..., %, 
esprimenti le molteplicità dei punti base, i primi % (0<%A<k+-1) 
siano superiori ad j, e i rimanenti numeri 0,,..., 0; siano infe- 
riori od uguali ad j; il numero di intersezioni che cerchiamo 
sarà espresso da 
i=h—l1 
n(n > 37) Fra È. A (a; —yj) nni 
i=0 
i=k i=k i=k 
= (n° musi ai) — j(3n i Rat AG =}, 
i=h 
—D—j(D+2) +2 4;(0; — 
numero evidentemente negativo se j71, poichè, per ipotesi, i 
fattori a, —], che compariscono nell’ ultima sommatoria, sono 
nulli o negativi. 
