864 GUIDO CASTELNUOVO 
Di qui si trae subito una utile osservazione: "poichè il primo 
membro dell’ultima uguaglianza è negativo, segue che, quando 
sia n > 8}, allora deve risultare 421, an > j. Perciò, se indi- 
. . . . . n . 
chiamo con g il maggior intero-non superiore ad >, se poniamo 
adunque 
n=3q+7r (g2dpr=50, 1/2) } 
potremo concludere che il nostro sistema lineare |C"| possiede 
almeno un punto base O, di molteplicità a > q. 
Ma ricorrendo al lemma ora dimostrato, noi possiamo sta- 
bilire una disuguaglianza più espressiva fra l'ordine » di | "| e 
le molteplicità dei punti base; basterà esprimere perciò che le con- 
dizioni imposte dai punti 05, 0, ... multipli secondo ao—-j, d—j,... 
per le curve aggiunte d’indice j, sono in numero eccessivo rispetto 
all'ordine n—3j delle dette curve, che sarebbero costrette a 
passare per quelli (j=1,2...). 
Per procedere nella discussione, preferisco staccare i tre 
casi r=0, 1, 2. Esaminerò diffusamente il primo caso, ed in- 
dicherò come, in modo analogo, si possano trattare gli altri due. 
1° Caso: n=3q. — Il punto base O, di |C*| che ha la 
molteplicità più elevata a, >gq, sia multiplo secondo 
a) oo=9 + 25, oppure a')'as=g+2s—1. (620) 
Supponiamo per ora 
(3) s<4d; 
e in tale ipotesi consideriamo le curve aggiunte a |l*| di in- 
dice g—s, le quali dovrebbero aver l'ordine 3s, e dovrebbero 
passare colla molteplicità 35, o, rispettivamente, 35—1 per Oo, 
ed inoltre colla molteplicità 
(4) B=@a—(g— s)21 (i =4;2). 0h 
per ogni altro punto base 0; avente per |C*| la molteplicità 
dt > 8: 
