866 GUIDO CASTELNUOVO 
ossia per le (4) e la a) 
i=2V—2 
(7) n=3q_-2R, 
Sl 
numero certamente inferiore ad n= 39, poichè 2v —222. 
Per dimostrare la 2) procederò per assurdo; ammesso che 
ciascuna delle 00? curve Cl, d’ordine v, passanti colla moltepli- 
cità v—1 per O, e semplicemente per 0;, 03, ..., 0x;-3, si spezzi, 
la parte variabile (irriducibile o riducibile) che entra a comporre 
la C*, dovrà segare la curva generica C", fuori dei punti base, 
in un numero 7" di punti inferiore od uguale al numero »', ora 
calcolato, delle intersezioni variabili della intera C* con 0". Ora 
noi vedremo, al contrario, che per qualche valore di v, ad es. per 
(8) v=35 + 1 (se % è pari), vati (se 4 è dispari), 
ciò non accade; vedremo che i casi di spezzamento, i quali a 
prima vista sembrano possibili, condurrebbero all’assurdo n’ > #', 
e quindi devono venir esclusi. Ciò risulta subito intanto se la 
parte variabile componente C° è irriducibile, ed è quindi una 
curva C* che varia in un sistema (almeno) 002, ha l’ordine.u< v e 
passa u—1 volte per O e semplicemente per 2u—2 al più tra 
i punti O,, 03, ..., 0x2; infatti, ripetendo il calcolo che ci ha 
condotto alla (7), e ponendoci nelle ipotesi più sfavorevoli, si 
trova 
i=2u—2 
n° za d3q ME Bi ’ 
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e confrontando colla (7) (poichè p < v, Bj > 0) 
n! > n', 
disuguaglianza che esclude questo primo tipo di spezzamento. 
Se invece la parte variabile componente Cl' si spezza in due 
(o più) curve, queste, per un noto teorema, devono appartenere 
ad uno stesso fascio, e nel caso presente si vede (tenuto conto 
della molteplicità di 0,) che devono esser rette uscenti da Oy; 
ed allora risulta 
n'ZAq— As. 
