870 GUIDO CASTELNUOVO 
non possono esistere, si trovano anche qui certe disuguaglianze 
a cui devono soddisfar le B;, disuguaglianze perfettamente ana- 
loghe alle (5) e (6), se si parte dalla ipotesi d), oppure alle (5') 
e (6’), se si parte dalla ipotesi 2’). Ed anche qui imitando 
rispettivamente i ragionamenti della ipotesi a), o della ipotesi d'), — 
si arriva sempre alla conclusione che, se la (3) è verificata, esiste 
certo una trasformazione di Jonquières atta ad abbassare l'ordine 
n=3q +1 del sistema |C"| su cui si ragiona. 
3° Caso: n=3q+2. — Qui si supporrà che il punto base 
O, di |C"|, che ha la molteplicità più elevata 00 >q, sia. mul- 
tiplo secondo 
c) oo=9+258+2,, oppure c')ao=q+2s41  (s20). 
Si supporrà al solito 
(3) << 
e si considereranno ancora le aggiunte a |C"| di indice g— s, e 
quindi di ordine 3s+ 2, le quali dovrebbero avere in 0; rispet- 
tivamente, un punto multiplo secondo 3s+2 o 3s+1; si pro- 
cederà poi nella ipotesi c), come si è proceduto nella ipotesi «) 
(oppure nella 5)), e nella ipotesi c'), come si è proceduto nella a’) 
(oppure nella 5')). Sempre si giungerà alla conclusione che, se 
la (3) è verificata, certo esiste una trasformazione di Jonquières 
atta ad abbassare l'ordine n=3q +2 del sistema considerato | C"|. 
Riunendo ora tutti i casi enumerati, si riconosce che l’or- 
dine » di un sistema | C"|, almeno 0c0!, di curve razionali, può 
sempre abbassarsi mediante una trasformazione di Jonquières, 
a parte le ipotesi n=1,2, che erano scartate fin dal principio, 
e riservando il caso che la (3) non si verifichi, che sia adunque 
sZq. Ma quest’ultima ipotesi porta di conseguenza che il si- 
stema |C"| abbia un punto base O, di molteplicità a,=% —1 
oppure n»; delle due soluzioni però, la seconda non può accet- 
tarsi, poichè condurrebbe ad un sistema riducibile, che abbiamo 
sempre escluso. Dunque in fine, notando che il processo di ab- 
bassamento dell’ ordine deve per forza aver termine dopo un 
numero finito di operazioni, si conclude: 
Un sistema lineare irriducibile, almeno x!, di curve razionali, 
