LE TRASFORMAZIONI GENERATRICI DEL GRUPPO CREMONIANO, Ecc. 871 
può sempre trasformarsi, mediante un numero finito di trasforma- 
zioni di Jonquières, in uno dei seguenti sistemi lineari : 
a) sistema di rette, 
8) sistema di coniche, 
Y) sistema di curve di ordine n22 dotato di un punto base 
multiplo secondo n—1, ed eventualmente di altri punti base sem- 
plici (*). 
Sarebbe facile esaminare in quali casi gli ordini dei no- 
minati sistemi possano ulteriormente abbassarsi, mediante tras- 
formazioni birazionali del piano. Ma io non intendo fermarmi 
su questa ricerca che condurrebbe a ritrovare, per altra via, i 
tipi irriducibili di sistemi lineari di curve razionali (d’ordine 
minimo), già enumerati ad es. dal Sig. Gucora (**). 
Piuttosto, per rientrare nell’argomento che mi son proposto, 
supporrò che il sistema di partenza abbia la dimensione 2, sia 
dunque una rete omaloidica, la quale, posta in corrispondenza 
con un piano rigato, definisca una trasformazione cremoniana 
generale 7' tra l’ultimo piano e il piano del sistema. Applicando 
al detto sistema un numero finito di trasformazioni di Jon- 
quières /,,/s ..., si potrà mutare quel sistema in uno dei tipi 
sopra enumerati, e precisamente (tenuto conto della dimen- 
sione 2): 
o') nel sistema delle c0 ? rette di un piano; oppure 
B') in una rete di curve di un certo ordine v=2, dotate 
di un punto base (v—1)-plo e di 2v—2 punti base semplici. 
Siccome però il sistema 8’), mediante una ulteriore trasforma- 
zione di Jonquières J,, d'ordine v, si muta in un piano rigato, 
possiamo in ogni caso affermare che un prodotto di trasforma- 
zioni del tipo T.J,Js...J muta un piano rigato in un piano ri- 
gato, è una collineazione; in simboli 
Peludts BE del 
(*) Che un sistema lineare (almeno co?) di curve razionali possa ridursi 
ad uno dei tre tipi sopra enunciati mediante una trasformazione Cremoniana, 
fu già dimostrato anni or sono dal sig. Prcarp (“ Bulletin de la Société 
Philomatique ,, 1878: “ Journal fiir die r. u. a. Mathematik ,, t. 100, p. 71) 
per una via rapida ed elegante, che sfugge all’obbiezione da te mossa al 
procedimento di Nòrazer. Per me tuttavia era essenziale mostrare che la 
detta riduzione può sempre eseguirsi mediante trasformazioni di Jonquières. 
(#*) “ Rendiec. del Circolo matematico di Palermo ,, t. I (1886), p. 152. 
