872 GUIDO CASTELNUOVO 
indicando con 1 una collineazione, che in questa teoria equivale 
all'identità. Si ricava subito 
TIT 0. I, 
donde il teorema: 
Ogni trasformazione cremoniana tra due piani può scindersi 
nel prodotto di un numero finito di trasformazioni di Jonquières. 
Ed ormai per giungere al risultato che mi son prefisso, 
rimane solo da mostrare che (come tu pure accenni nella tua 
Nota) ogni trasformazione di Jonquières tra due piani può scindersi 
nel prodotto di un numero finito di trasformazioni quadratiche (*). 
Qui preferisco seguire la via analitica, che conduce in modo 
assai semplice al risultato. Ricordo che una trasformazione di 
(*) [Nota di C. Seere]. Mi permetto di spiegare brevemente in qual 
modo io vedevo questo fatto. Basterà considerare una rete di Jonquières 
con tutti i punti base infinitamente vicini; ed io prenderò, più in generale, 
un sistema lineare X d'ordine x con un punto (n — 1)-plo, al quale siano 
infinitamente vicini / punti semplici: e dimostrerò che, se 7>x —1 (come 
accade appunto per le reti di Jonquières), si potrà abbassarne l’ordine con 
una conveniente successione di trasformazioni quadratiche. Dopo ciò, il let- 
tore potrà verificare subito quanto il sig. CasreLNuovo ha accennato nella 
pag. precedente intorno ai sistemi di curve razionali d'ordine minimo. 
Si faccia da prima una trasf. quadr. con un punto fondamentale nel 
punto (x — 1)-plo di X, senz’altro. Verrà un sistema Z' d’ordine n+-1, con 
un punto w-plo ordinario e con /+2 punti base semplici, distinti od infi- 
nitamente vicini. Poi si faccia, se occorre, una serie di trasfi quadr.® di X" 
in altri successivi sistemi d’ ordine n +1, con un punto n-plo ordinario e 
con Z-+ 2 punti base semplici, ponendo sempre un punto fondamentale nel 
punto n-plo ed un altro in un punto‘base semplice che sia infinitamente 
vicino a qualche altro punto base semplice. L’effetto di ogni tale trasf. sarà, 
come subito si vede, di aumentare ogni volta di 1 unità il numexo dei 
punti base semplici distinti; sicchè si potrebbe giungere fino ad averli tutti 
2-2 distinti. È dunque certamente possibile (poichè, per ipotesi, 1+ 2 è 
maggiore dell'ordine n + 1) con una conveniente successione di trasf.' otte- 
nere un sistema d'ordine n -+ 1, con punto »-plo ordinario, e con 2 punti 
base semplici tali che esternamente (a distanza finita) alla retta congiun- 
gente di questi esista qualche altro punto base semplice. Allora un'ulteriore 
trasf. quadr. avente come punti fondamentali il punto x-plo e i 2 punti 
base semplici prima nominati darà un sistema, che sarà solo più d’ordine #, 
e avrà un punto (n — 1)-plo e / punti base semplici, fra i quali uno almeno 
sarà distinto dal punto (n — 1)-plo. Un tal sistema si riduce subito, con 
un'ultima trasf. quadr., ad un ordine minore di »! 
