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I NUMERI RAZIONALI IN GEOMETRIA 919 
tali molteplicità queste Mi_; passano per gli £,_s laterali del 
r-gono (P,... P,-2). Quelle Mj_, del sistema co”, che conten- 
gono il punto U,,, devono decomporsi dunque nello spazio 
B,-1(P;,.. P.2) ed in una MIZ del sistema co”? per (PT! 
Pi Pi... PIP.) Queste Mj_i contengono, poichè esse hanno 
colla retta P,P. r punti d’intersezioni, interamente la retta, pas- 
sano dunque per U,, ciò che esprime, che esiste nel sistema co”! 
un sistema 00”? di M,_1, che contengono Uî,. 
Ora applicando il lemma si conclude, che U, ha relativa- 
mente a tutte le MT_, del sistema 00”! la stessa derivazione 
lineare. Ma ognuna delle M,_; scritte qui sopra ha un punto 
r-plo, cioè uno dei punti suddefiniti 7}, ... 7.+:; dunque la de- 
rivazione piana deve essere il piano ,_1(73,... 7,2). Ossia: 
Il punto U'» è la derivazione lineare di U,, per rapporto 
alla coppia (Pi-' Pi), questa cioè presa come una r-pla compressa. 
Per questa ragione si ha la nota equazione Newtoniana 
1 1 | r_1l L=") 
Ug U 13 Wei U;a Pi U,sP, ) 
da cui si deriva successivamente 
(r—1)U,P.U,sP.+UywP,.UP,=(r-1)U,3P,.UsU' + UwsP,.UeU' 
(1) UP 03 P, = UP PU 
U;sP, . U',sPs 
agi d (—- 1) == U,,P, UP, 
P,Ua x Ema Bi 1 
P,Uxg " PaUWji (1 DO PANINI LO PRRCEMERCO 
Dinotando poi lo spazio (7... 7,2) con T: e quello, che 
nasce dalla stessa costruzione, ma coi punti P,P. permutati, 
con T,,, avremo subito l’altra conclusione: 
I due spazi T,. e T., segano lo R,.-1(P;... P,,2) nello stesso 
R,-3, il quale è la derivazione piana di U, relativa al r-gono 
{Pat Ried). 
Ora invece di procedere per la costruzione degli altri nu- 
meri razionali come il sig. Busche, preferisco di dare la seguente 
generalizzazione del teorema, che mi pare avere un valore anche 
indipendente da ciò. 
