SULLE EQUAZIONI DINAMICHE DI LAGRANGE 491 
nelle prime delle quali per r e s sono da prendersi tutte le com- 
binazioni binarie degli indici 1, 2, ..., n. Se i vincoli sono indi- 
pendenti dal tempo si ha: 
dx” 
dt 
U_=0, F1 = 09, = fav = 0, =0; 
quindi: Pi? =0, sicchè allora le precedenti equazioni si ridu- 
n(n 
cono alle prime ne 1) A queste si può sempre soddisfare, de- 
terminando in ff216hé delle p; e t i rapporti delle X, quando 
n(n nr 1) 
sia N> —. Allora esistono delle combinazioni lineari delle 
PN), Ze ha moltiplicate per moltiplicatori arbitrarì si possono 
aggiungere alla forza viva senza alterare le equazioni dinamiche 
di Lagrange, come fu messo in luce dal sig. HADAMARD in una 
sua interessante memoria: Sur les mouvements de roulement 
(“ Mém. de la Société des Sciences phys. et nat. de Bordeaux ,, 
t. V, s. IV, p. 397), riprodotta nel 4° N° della Collezione: 
Scientia. 
Se invece i vincoli dipendono dal tempo ma son tali che 
fissati nel loro stato ad un istante £ qualunque le loro equazioni 
differenziali divengano completamente integrabili, allora delle 
precedenti equazioni le prime divengono identiche, mentre le 
ultime » si potranno sempre soddisfare, determinando in fun- 
zione delle p e # i rapporti delle X, allorquando sia 
N>2n. 
Per conseguenza allora vi sono almeno N —2n combinazioni 
lineari delle ®), che, moltiplicate per moltiplicatori arbitrari, sì 
possono aggiungere alla forza viva senza alterare le equazioni di- 
namiche. 
In generale vi saranno poi sempre di tali combinazioni allor- 
quando: N > Dei — 3 ed il loro numero è di almeno: N— cin 
7. — Il sistema di equazioni lineari, omogenee alle deri- 
vate parziali, aggiunto o reciproco di (2°) è (*): 
(*) Cfr. Pascar, I gruppi continui di trasformazioni, cap. V, $$ 2, 3 
(Manuali Hoepli, Milano, 1908). 
