146 UGO PANICHI 
Una data armonica, per es.}m—p m—» n—p|, in cu m>n>p, 
sarà in generale un esacisottaedro; ma può essere un icosite- 
traedro quando m —n=n— p. Così dalla forma }321} si ha 
l’armonica } 211, mentre la corrispondente armonica di }421{ 
è }321{. Se si imporranno condizioni alla variabilità di una 
forma }mnp}{, rimarrà condizionata la variabilità delle sue ar- 
moniche e perciò possiamo proporci di ricercare le proprietà 
armoniche di un dato tipo di forme. 
Supponiamo ad esempio che gli indici della forma data }mmp| 
soddisfino alla condizione particolare m=wn+p. In tal caso sarà 
}mnpi=}n+p m_—p m—n| 
È 
2 
}mnpi è armonica di sè stessa; ma invece diremo, più esatta- 
e, se non tenessimo conto del coefficiente —, potremmo dire che 
mente, che la forma 3 in+p m—p m—n!, armonica di }mnpi, 
è simile ad }mnp{. Reciprocamente si può affermare che se 
}mnpî ha per armonica una forma simile, i suoi indici soddi- 
sfano alla condizione m=n+- p: infatti una forma armonica 
di }mnp{, simile ad essa, deve avere il simbolo del tipo 
1 
gimEn mEp nt pi 
in cui solo il 1° indice può essere eguale a p, solo il 2° può 
essere eguale ad n, solo il 3° può essere eguale ad m. E dovendo 
essere m>n>p, potrà essere soltanto 
m—-n=p, m—-p=n, n4+p=m 
le quali tre espressioni coincidono colla condizione cercata. 
Nel caso che fosse n=p dovrebbe essere m=2n, e poichè 
allora }2n n n= }211{, ne segue che fra gli icositetraedri sol- 
tanto }211{ ha per armonica una forma simile a sè stesso. Se 
fosse m=n, dovrebbe essere p=0 e quindi solo }110} ha per 
armonica una forma simile. Tutte le altre forme soddisfacenti 
alla condizione posta sono esacisottaedri (321, 431, 532, .....). 
