TOMMASO BOGGIO — SULLO SVILUPPO IN SERIE, ECC. 171 
Sullo sviluppo in serie di alcune funzioni trascendenti. 
Nota del Dott. TOMMASO BOGGIO. 
Il Prof. PrANo nelle sue: Lezioni di Analisi infinitesimale (*), 
ha dimostrato con metodo assai semplice la seguente notevole 
proprietà: 
Se x è una quantità positiva, senx è maggiore della somma 
di un numero pari e minore della somma di un numero dispari 
di termini del suo sviluppo în serie. Lo stesso avviene per cosx. 
Questo teorema trovasi dimostrato in alcuni trattati sotto 
la condizione x < a la quale è affatto inutile. 
In questa Nota mi propongo di stabilire l’analoga proprietà 
per le funzioni di Bessel, per la serie ipergeometrica e per le 
funzioni : 
e, log(1+%), tette, (1+)", loglr+V1+?), 
ove x, m sono quantità positive qualunque. 
Tale proprietà è senz'altro evidente se x <1, come si ri- 
conosce subito partendo dallo sviluppo in serie di quelle fun- 
zioni; però essa sussiste senza questa restrizione, cioè è valida 
per un valore positivo qualunque di x. 
1. — Sia x una quantità positiva, si ha evidentemente 
e7< 1, cioè: 
Loeb 
Ora il primo membro è la derivata di —1+x e”, dunque, 
per un noto teorema di Calcolo, questa funzione è crescente, e 
poichè si annulla per x=0, sarà per x > 0: 
(1) —1+o+e7>0, 
(*) Torino, a. 1893, vol. I, pag. 83. 
