SULLE SUPERFICIE CHE RAPPRESENTANO LE COPPIE, ECC. 193 
5) Considerando le rigate che hanno per S7-3 direttori 
le traccie sopra o degli S7z_s bitangenti a Y e passanti per w. 
Sopra ogni sezione iperpiana di / rappresentante una tale ri- 
gata, si ha un punto doppio. In questo modo si ottengono dunque 
2(x — 1)(9mt — 20) punti doppi staccati, tante essendo le bitan- 
genti della projezione generica di 1 sopra un piano. 
Chiamando I l’invariante di Zeuthen-Segre relativo ad #, 
avremo perciò: 
I=2(m— 1)(Ir—- 20) + (2mr — 2) (2r — 4) — pîù — 4dpU — 
— (n 1)(@m-—-3) A. 
Applicando la relazione fondamentale di NòrHER (*): 
pUYI=12P,+9, 
facilmente trarremo che il genere aritmetico di F è espresso dalla 
formola: 
7. A prima vista può sembrare che i ragionamenti svolti 
per la superficie F che rappresenta, nel modo projettivamente 
fissato, le coppie di punti della y,, non valgano più nel caso t=3; 
ma è facile persuadersi che interpetrati convenientemente essi 
continuano a sussistere. La curva canonica Y del genere 3 è una 
quartica piana generale, della quale diciamo p il piano. Rappre- 
sentando le rette di p coi punti di un secondo piano, poichè 
sopra ogni retta di p si trovano 6 coppie di punti di y, la su-. 
perficie F che rappresenta le coppie di punti di y, si ridurrà in 
tal caso ad un piano sestuplo. Sopra Y avremo come curva di 
diramazione una curva y' del 12° ordine (duale di Y) da contarsi 
due volte, perchè sopra ogni tangente di y due delle 6 coppie 
di punti coincidono fra loro, e così pure altre due. Le coppie di 
punti di y allineate con un punto a di p, son rappresentate su { 
dai punti di una retta sestupla f. Per ogni retta di p passante 
per a si hanno 6 punti di f; sicchè sopra f nasce una serie 
(*) Cfr. p. e. CasreLyuovo-EwrIQques, Sopra alcune questioni fondamentali 
nella teoria delle superficie algebriche (£ Annali di Mat. ,, (3), t. VI, 1901, n° 6). 
