SULLE SUPERFICIE CHE RAPPRESENTANO LE COPPIE, ECC. RE 
Le espressioni pà; P.-- risultano a priori funzioni abeliane 
di v; ... Ur; ma se LIRE dipendessero da queste varia- 
bili l'integrale © non sarebbe dovunque finito sopra Vz. Dunque 
sarà: 
dv= du, +... + Mx dur, 
ove le \ sono costanti. 
La varietà, Vx ammette n integrali distinti di differenziali 
totali di 1% specie. 
Ogni integrale di differenziale totale annesso a V7, consi- 
derato sopra una varietà subordinata V,, dà luogo ad un inte- 
grale analogo relativo a questa. In particolare si hanno così r 
integrali di differenziali totali sopra le superficie V, che rappre- 
sentano le coppie di punti della y. È facile vedere che una tal 
superficie V, non può ammettere integrali distinti da quelli. 
Infatti sopra Vs si ha un sistema co! d’indice 2, di curve V, 
che a due a due sî tagliano in un punto. Un integrale di V, di- 
verso dai precedenti, essendo costante sopra ciascuna delle V,, 
è perciò costante su tutta la superficie. 
Riandando alla immagine projettiva £ delle coppie di punti 
della curva di genere m, considerata ai numeri precedenti, po- 
tremo dire: 
La superficie F, che rappresenta le coppie di punti di una 
curva del genere t, ammette tanti integrali di differenziali totali 
di 1° specie, quant'è la differenza fra il suo genere geometrico e 
il suo genere aritmetico. 
9. — Studiamo ora gl’ integrali doppî. Se nell’ integrale 
{[du,dus passiamo dalle variabili « alle x, avremo: 
[l du, du, = [{ A) da;dxy. 
ik D(xiar:) 
Giacchè, come rilevasi dalla (1): 
verrà: 
Sfdu,dus = |{Z (A Ax — Ag An) dx;day, 
