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dell'elemento lineare e dai simboli a tre indici di Christoffel e 
da quelli a quattro indici di Riemann. Si presenta qui il fatto, 
degno di nota, che mentre le variazioni dei simboli a tre indici 
dipendono dalle derivate seconde delle z, quelle dei simboli Rie- 
manniani (ih, #7) e degli associati }ik, 42} dipendono solo dalle 
derivate prime; ed è da questa circostanza che deriva massima- 
mente la semplificazione della ricerca. 
Esprimendo che la trasformazione infinitesima Xf conserva 
le geodetiche, si ottiene un sistema caratteristico di equazioni 
alle derivate parziali del secondo ordine per le incognite € per 
I 
equazioni fondamentali del problema giacchè, insieme alle loro 
conseguenze differenziali, esse dànno le equazioni di definizione 
(secondo Lie) pei gruppi geodetiei. 
L’A. dimostra che dalle equazioni fondamentali possono 
trarsi tutte le derivate terze delle £ espresse per quelle d’ordine 
inferiore, onde segue che le dette equazioni formano un sistema 
mezzo di relazioni fra i simboli variati } i Queste sono le 
di Mayer, entrando nell’integrale generale un numero finito di 
costanti arbitrarie. Per uno spazio S,il massimo di questo nu- 
mero è n(n +2) e viene raggiunto soltanto quando lo spazio è 
geodeticamente rappresentabile sullo spazio Euclideo, cioè quando 
la curvatura Riemanniana è costante. Allora il più ampio gruppo 
geodetico coincide col generale gruppo projettivo G,n4s- 
Per la trattazione generale del problema lA. considera par- 
ticolarmente le equazioni del 7° ordine per le E, conseguenze 
differenziali delle equazioni fondamentali, la cui formazione è 
essenziale per semplificare la ricerca. Un primo gruppo di sif- 
fatte equazioni deducesi dal confronto colle formole precedenti 
relative alle variazioni dei simboli di Christoffel e di Riemann, 
e se ne trae subito l'importante conseguenza che una trasforma- 
zione geodetica conforme è necessariamente simile. 
Con metodo totalmente diverso viene poi dedotto un secondo 
gruppo di equazioni del 1° ordine per le £ utilizzando, con un’in- 
gegnosa osservazione, i risultati generali ottenuti dal prof. Levi- 
Civita sulla rappresentabilità geodetica degli spazi. È noto come 
gli elementi lineari degli spazî che ammettono una rappresenta- 
zione geodetica (non simile) sopra altri spazî si riducano a forme 
tipiche, che pel caso n= 2 corrispondono alla forma tipica di 
