SULLA TEORiA DEGLI SPAZII, ECC. 407 
$ 8. — Dimostreremo ora il seguente teorema, analogo a 
quello del $ 6 della mia Memoria citata: 
Condizione necessaria e sufficiente affinchè un gruppo imma- 
ginato operante in uno spazio euclideo si possa considerare come 
gruppo conforme, è che quel suo sottogruppo T che lascia fisso un 
punto generico A lasci fisse le direzioni uscenti da esso poste sopra 
un cono quadrico. 
Da cui dedurremo: 
Le direzioni uscenti dal punto A generico sono trasformate 
dal sottogruppo che lascia fisso À mediante un gruppo simile a un 
sottogruppo del gruppo dei movimenti di uno spazio non euclideo 
a “nl, dimensioni (che sarà ellittico se il nostro spazio è 
reale). 
La condizione testè enunciata è certamente necessaria; di- 
mostreremo ora che è sufficiente; di più dimostreremo, poichè 
tutti i gruppi conformi si possono ottenere per quadrature sotto 
forma finita, che anche tutti gli spazii corrispondenti si possono 
ottenere per quadrature e vedremo quale è l’indeterminazione che 
resta nell'elemento lineare. Per semplicità supporremo senz’altro 
il gruppo transitivo in » variabili, notando esplicitamente che 
se il gruppo fosse intransitivo, si dovrebbe verificare la condi- 
zione enunciata almeno in un punto di ciascuna varietà minima 
invariante. 
Una trasformazione qualsiasi del nostro gruppo che porti 
un qualsiasi punto B in un punto C si può sempre immaginare 
ottenuta come prodotto di una trasformazione che porti B in A 
e di una che porti A in C. Basterà perciò dimostrare che esiste 
uno spazio tale che se una trasformazione qualunque porta A 
p. es. in €, gli intorni di A e di Cl si corrispondono in guisa 
che due direzioni uscenti da A e le due corrispondenti da © 
formano angoli uguali. Prendiamo ora in A i valori dei coeffi- 
cienti dell'elemento lineare 
Landx;dx, 
uguali o proporzionali ai coefficienti corrispondenti di quel cono 
quadrico (oppure di uno di quei coni quadrici) che T lascia fissi. 
Prendiamo ora o” trasformazioni del nostro gruppo tali che 
nessuna di esse lasci fisso A (eccetto l’identità) e che due distinte 
