SULLA TEORIA DEGLI SPAZII, ECC. 411 
Questa dovrebbe lasciar fisso un cono, che per il teorema pre- 
cedente sarebbe per n>2 degenere a meno che b5,=0, ossia a 
meno che le derivate prime di À in un punto generico fossero 
nulle, ossia che \ fosse costante e quindi le due trasformazioni 
iniziali non fossero distinte. 
È ben chiaro che per n= 2 il teorema non vale più. Infatti 
per una superficie 
ds? = 2a;s dx, dxs 
le due trasformazioni dò fa: 
di dz; 
Per il caso di movimenti questo teorema fu già dimostrato dal 
Prof. Bianchi. 
Ricordiamo ora che già Lie dimostrò (Lre, Transformations- 
gruppen, 1893, Bd. 3, Kap. 17-18) che uno spazio S, (n>2) am- 
mette solo gruppi finiti di trasformazioni conformi e che per 
n= 2 i gruppi finiti di trasformazioni conformi non hanno più 
di 6 parametri. Egli trovò poi che un gruppo conforme, che 
permuti le direzioni uscenti da un punto nel modo più generale 
possibile, è sempre identico (simile) col gruppo dei movimenti 
di uno spazio a curvatura costante, o delle similitudini di uno 
spazio euclideo, o del gruppo dei movimenti, delle similitudini e 
delle inversioni per raggi vettori reciproci di uno spazio euclideo. 
formano un gruppo conforme. 
$ 5. — Sia ora un gruppo G, generato dalle X, X,.... X, 
conforme per lo spazio 
n 
ds? — 2. ali dx; dry. 
1 
Avremo, indicando con X;(î= 1, 2, ..., r) delle funzioni di 
$% Ftiodote: 
(a) X;(ds°) PF; (FESNOIE]. 
Sia. poi: 
(3) (XX =Zcm 
Dalla (a) si deduce: 
X,[X;(ds)] =" X(F) ds? + F;(Xds) = Xx (1) dst +,F,k ds? 
Atti della R. Accademia — Vol. XXXVIII. 28 
