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414 GUIDO FUBINI 
dove % è costante. Donde in particolare: 
Tai ba =ha; 
e sommando rispetto a i 
Lia ba _ hZ a; . 
i,k i 
Ora, scambiando i,% il primo membro cangia segno perchè 
Udi = Urig dir. = by. E perciò: 
h Za; = 0. 
Se noi ci limitiamo a spazii reali, deve essere Za, 0. È 
dunque X= 0. Ora ricordiamo che lo spazio S è ($ 3) definito, 
quando oltre al dare i valori iniziali a, nel punto (0, ...,0) dei 
coefficienti del suo elemento lineare, si dia la funzione (cfr. $ 3) 
h(£,, x3....%,) a cui si riduce la X(x;...%,%;"...x,'). La serie G 
del $ 3 rispetto a cui si calcolava la £ si può ora immaginare 
quella generata dalle (A). Io dico che se noi moltiplichiamo l’ele- 
mento lineare ds? per questa funzione %(; .... x,) io ottengo 
effettivamente uno spazio per cui G è un gruppo di movimenti. 
Sia infatti ds? l'elemento lineare così ottenuto. Una trasforma- 
zione che porti il punto (0,..., 0) nel punto generale (x, %3....%») 
e che appartenga alle trasformazioni generate dalle (A) porta 
infatti la forma quadratica cui si riduce l'elemento lineare ds? 
nel punto (0, 0,....0) alla forma quadratica cui si riduce ds? nel 
punto (x; ....x,) moltiplicata per / (x, .... £n), ossia appunto alla 
forma quadratica cui si riduce ds''2 nel punto (x; ....&m). Di più 
osserviamo che per quanto abbiamo dimostrato più sopra una 
trasformazione che lasci fisso il punto A = (0, 0, .... 0) lascia in- 
variata (moltiplica proprio per 1) la forma quadratica, cui si 
riducono ds? e ds''2 nel punto (0, ...., 0). Basta allora ripetere i 
ragionamenti del $ 3 per riconoscere che G per ds''? è un gruppo 
di movimenti. E di più noi abbiamo dimostrato che se i gruppo 
G è transitivo, quello spazio S' su cui S è conformemente appli- 
cabile e per cui G è un gruppo di movimenti è definito a meno di 
una similitudine. 
$ 7. — Noi dunque abbiamo con questo teorema esaurita 
la ricerca degli spazii S che ammettono un gruppo conforme G 
