SULLA TEORIA DEGLI SPAZII, ECC. 415 
che si possa considerare come gruppo di movimenti; e ci rivol- 
geremo allo studio degli spazii S, che ammettono un gruppo G 
che non si può considerare come gruppo di movimenti. Per 
il teorema del $ 1 il gruppo G@ dovrà essere transitivo nello 
spazio S,. Nel punto generico A di S potremo con un cangia- 
mento di variabili supporre nulle le coordinate x; .... x, e l’ele- 
mento lineare ridotto alla forma: 
A det + dai +... + daî.. 
Avremo poi m trasformazioni infinitesime di ordine nullo 
nelle x; 
(0) Asti Lasa ita 
dove i termini trascurati sono almeno del primo ordine. Il gruppo 
non potendo essere semplicemente transitivo (chè allora potrebbe 
anche considerarsi come gruppo di movimenti), avremo delle 
trasformazioni di prim'ordine, che per la forma che ha in A 
l'elemento lineare, saranno del tipo 
(D) a(v1P1+r2P2 + ++ CmPm) + Zoadipit.. (ba = bi) 
E potranno esistere anche delle trasformazioni del secondo 
ordine o di ordine superiore. Notiamo che se esiste una trasfor- 
mazione U del second’ordine, le (X;U)(i==1,..., m) dànno ori- 
gine a trasformazioni del prim'ordine che devono essere del tipo 
precedente; quindi (Lie, loc. cit.) esse saranno del tipo: 
> by 2xyZx,p— Zap, +... 
V=1 1 1 ] 
Le a, dix, by Sono costanti. 
Se il gruppo contiene una trasformazione del prim’ ordine 
1 PL 1 cn 1° da Pm | decse 
lo spazio è rappresentabile conformemente sullo spazio euclideo. 
Infatti (Lie, Bd. 1, Teor. 111) in tal caso il gruppo con una 
trasformazione di coordinate si può ridurre a contenere il sot- 
togruppo 
Pi: P23 060.3 Pmo 
