SULLA TEORIA DEGLI SPAZII, ECC. 417 
Lo studio dei gruppi conformi è così ricondotto alla ricerca di 
siffatti sottogruppi di movimenti di uno spazio a curvatura 
costante. 
$ 8.— Per vedere la potenza del nostro metodo, studiamo 
il caso particolarmente interessante degli S;. Escluso il caso 
degli spazii applicabili conformemente su spazii a curvatura 
costante, ogni gruppo conforme sarà imprimitivo (Cfr. Lie, 
Bd. 3, S. 139) e quindi il sottogruppo G' che lascia fisso un 
punto A dovrà lasciare fissa almeno una direzione per esso. Se 
anche essa fosse immaginaria, il gruppo lascierebbe fissa anche 
l'immaginaria coniugata e la direzione reale coniugata a queste 
due direzioni rispetto al solito cono quadrico. Nella metrica 
della stella definita da questo cono, considerato come assoluto, il 
gruppo G’ sarà dunque una rotazione attorno a una direzione 
reale; e perciò il gruppo conforme totale avrà al più 4 para- 
metri, e si potrà immaginare del tipo 
DO Pi + nasa Ng ==#j/ LL seta Xy = P3 da 009 
X,= %1p1 + capa +.£3p3 + b(eipo — dop.) + ... 
Sarà quindi: 
(XK +0 + MX (XX) = BA + nX 
(AX)=AZ + 
dove m, n, r sono costanti. Aggiungendo a X,, X, X; conve- 
nienti multipli di X, si potrà fare evidentemente m=n=r=0. 
Le relazioni tra le costanti di composizione di un gruppo di- 
mostrano allora che (XX) =(X3.X3)=(XX;)=0. Ossia le 
X,, X3, X3 generano un gruppo semplicemente transitivo a tras- 
formazioni permutabili e lo spazio sarebbe conformemente ap- 
plicabile sull’euclideo. 
Dunque: Gli spazii S a tre dimensioni non conformemente ap- 
plicabili su spazii a curvatura costante che ammettono un gruppo G 
conforme sono conformemente applicabili su spazii S' che ammet- 
tono ( come gruppo di movimenti. 
Questo teorema esaurisce la ricerca per gli spazii a tre 
