INTORNO ALLE SUPERFICIE APPLICABILI SUI PARABOLOIDI, ECC. 517 
Per tutte le superficie d’elemento lineare (1) il problema 
della deformazione si riduce ad equazioni di tipo (a), (5), (c) 0 
di tipo analogo, come dimostrerò nella presente nota. Ma il mio 
scopo principale è quello di richiamare le ricerche analitiche 
sulle equazioni di questi tipi da me esposte in una memoria 
del 1888 (*), per applicarle all'attuale problema geometrico. Per 
tutte le equazioni di questi tipi si può infatti stabilire una 
teoria di trasformazioni affatto analoga a quella nota per l’equa- 
zione: 
dw 
da d 
= senWw, 
da cui dipende la ricerca delle superficie a curvatura costante. 
E come quest’ultima teoria trova la sua interpretazione geome- 
trica nelle trasformazioni delle superficie applicabili sulla sfera 
(reale od immaginaria), così anche per le superficie d’elemento 
lineare (1), in particolare per quelle applicabili sui paraboloidi, 
si può stabilire un'analoga teoria di trasformazioni geometriche, 
che permette di dedurre da una tale superficie nota infinite 
nuove della medesima specie. 
In questa nota preliminare debbo del resto limitarmi a sta- 
bilire il principio fondamentale per queste trasformazioni geo- 
metriche, il cui studio richiederà ricerche più accurate e profonde 
per portarne la teoria al punto che ha ora raggiunto quella delle 
superficie a curvatura costante. 
2. (#*) — Per l’elemento lineare (1), ponendo : 
H= EG— F*, 
si ha: 
(2) H= As9u° + Azz? + 2Azzuo — 2Axgu — 2A:30 + An; 
dove, colle solite notazioni, indichiamo con A; il complemento 
algebrico di a, nel determinante A. Se calcoliamo i valori dei 
(*) Sulle forme differenziali quadratiche indefinite (* Atti dei Lincei ,, 
Serie IV, Vol. V, 1888), vedi particolarmente $ I. 
(**) Le notazioni usate in questo numero e nei seguenti sono quelle 
delle mie Lezioni di geometria differenziale, a cui si riferiscono i richiami. 
