INTORNO ALLE SUPERFICIE APPLICABILI SUI PARABOLOIDI, ECC. 519 
sarà corrispondentemente positiva o negativa nel caso dei segni 
superiori, ed invece negativa o positiva per i segni inferiori. 
Alle due forme quadratiche fondamentali, la prima delle 
quali è data dalla (1) e la seconda da 
i a; (du? + de), 
appartiene una superficie Sdi traslazione sulla quale il si- 
stema («,v) è quello delle curve coniugate di traslazione. La S 
è reale nel caso A>0, immaginaria quando A<0; ed in questo 
ultimo caso per le coordinate x, y,z di un punto mobile sopra S 
possiamo prendere le due prime x, y reali, la terza 2 puramente 
immaginaria. 
3. — Si consideri ora una qualunque superficie reale S di 
elemento lineare (1), e sia: 
Ddu? + 2D'du dv + D' di 
L) 
la sua seconda forma quadratica fondamentale. Le linee (a, B) 
che formano il sistema coniugato comune alle due superficie S, S 
sono le linee integrali dell'equazione differenziale: 
du, + dv 
E: sa La. __ |=90, 
Ddu+ D'di, D'du+ D' dv 
ossia : ; 
(6) D' du? + (D" F D) dudvF D' dv = 0. 
Questo sistema (a, 8) è dunque sempre reale nel caso dei 
segni superiori. E se valgono gli inferiori, poichè il discrimi- 
nante della (6) è: 
4A 
D'+D»-4D*—(D-D"-|4(DD'_ D)—(D_ DM E, 
vediamo che il sistema coniugato permanente (a, B) può essere 
immaginario nel solo caso di A>0, cioè quando la curvatura 
dell'elemento lineare (1) è negativa. 
