532 LUIGI BIANCHI 
Si osserverà anche qui, come al n° precedente, che se è 
soddisfatta la condizione: 
Agg "i Az3= + 2A9g ’ 
la (V*) si riduce alla forma di Liouville e si integra comple- 
tamente. 
7. — Passiamo ora alla seconda parte della ricerca, a sta- 
bilire i principii per una teoria delle trasformazioni delle super- 
ficie d’elemento lineare (1). Fisseremo l’attenzione sul caso par- 
ticolare più interessante del paraboloide ellittico od iperbolico. 
Sostituendo al paraboloide ellittico. un conveniente paraboloide 
simile | con +; —_ Ss = 1) potremo ridurre l’equazione (1*) n° 4, 
da cui dipende la ricerca delle sue deformazioni, alla forma: 
d°w d°w 
(VI) FE + age > SenWw cos. 
Conviene associare alla considerazione della (VI) quella del- 
l’altra equazione: 
d°0 
da? 
(VI) + dì = senh@ cosh0@, 
la quale, secondo la (IV*) n° 5, appartiene come equazione del- 
l'applicabilità, ad una classe di superficie d’elemento lineare (1), 
p. e. a quelle per le quali: 
(23)  de@=(12+1)du — 2uodudo + {è — ca de, 
Ora fra le soluzioni w,69 delle (VI), (VI*) può stabilirsi una 
semplice relazione contenuta nel sistema di formole: 
\ De = 5a = cosccoswsenh — seno senw cosh@ 
(24) pi 
dw | d6 
Î RT da SENI COSWw senh9 + coso senwcoshé , 
dove 0 indica una costante arbitraria. Supposto infatti che @ sia. 
una soluzione della (VI*), le (24) costituiscono per w un sistema 
illimitatamente integrabile, e l’integrale generale w, contenente 
