INTORNO ALLE SUPERFICIE APPLICABILI SUI PARABOLOIDI, ECC. 533 
un’altra costante arbitraria oltre 0, è una soluzione della (VI). 
Inversamente se w è una soluzione della (VI), l’integrale gene- 
rale 6 delle (24) soddisfa la (VI*). 
A queste equazioni ai differenziali totali per w (o per 0) si 
può dare la forma di un’equazione del tipo di Riccati per l’in- 
cognita tg 5 w {o tgh 3 8); dopo di ciò, conosciutone un inte- 
grale particolare, se ne avrà il generale con quadrature. 
Sussiste ancora per le equazioni (24) un teorema di permu- 
tabilità (Lezioni, pag. 435 e seg'), mediante il quale, se per una 
data soluzione 0 della (VI*) sappiamo integrare completamente 
le (24), per qualunque valore della costante 0, l'applicazione 
successiva del metodo di trasformazione non richiederà più alcuna 
quadratura. È ora evidente come questi risultati analitici tro- 
vano un’interpretazione geometrica nel problema d’applicabilità 
che qui ci occupa. Nota p. e. una superficie applicabile sul pa- 
raboloide ellittico, conosceremo w in funzione di a, 8, e dalle (24), 
integrando, avremo 0, che ci determinerà così infinite superficie 
d’elemento lineare (23). Da ciascuna di queste, integrando le cor- 
rispondenti equazioni (24) in w, dedurremo infinite superficie 
applicabili sul paraboloide e così di seguito. 
8. — Veniamo in fine al paraboloide iperbolico, le cui de- 
formazioni di prima specie dipendono, come si è visto, dall’e- 
quazione: 
d%0 d°0 
DE — dal senh@ cosh@; 
(VID 
quelle di seconda specie dall’altra: 
al 
(VIII) “ag cosh2w. 
Anche in questi due casi possiamo stabilire un sistema di 
formole di trasformazione come le (24), ma questa volta in modo 
che da una soluzione 0 della (VII) si passa ad un’altra. solu- 
zione 0, della stessa (VII), e similmente da una soluzione w 
della (VIII) ad un’altra tale soluzione wi. 
