606 LUIGI BIANCHI 
In particolare le forme differenziali quadratiche (definite 0 
indefinite) a curvatura Riemanniana costante dànno luogo a 
nn +4 1) 
gruppi di trasformazioni equivalenti con 5 
parametri. 
6. — Ritornando alla questione generale, osserviamo che 
ove si conoscessero tutti i tipi di gruppi ad » variabili si po- 
trebbe, applicando i criterii stabiliti, discernere fra questi quelli 
che possono cangiarsi in gruppi di trasformazioni equivalenti, e 
classificare quindi completamente questi ultimi gruppi. Le ri- 
cerche complete di Lie pei casi n= 2, n=3 ci dànno in par- 
ticolare il modo di risolvere la nostra questione pei gruppi di 
trasformazioni equivalenti del piano e dello spazio. Qui ci occu- 
peremo specialmente del primo caso ed osserveremo prima 
un’altra forma notevole che si può dare al problema. 
Supposto che sia: 
xp=t Sl + 
una trasformazione infinitesima del piano che conservi le aree, 
deve essere: 
da so Sii 2) 
ne risulta quindi determinata, a meno di una costante additiva, 
una funzione /, (x, y) dalle formole: 
dI dI 
de A hg rate 
Diremo 1, la funzione generatrice di X,f, che si scrive 
allora: 
0 MID. 
tali de, y) 
Si vede subito che se /,, Is sono le funzioni generatrici 
di X,f, Xsf, la generatrice dell’alternata (X, X3) sarà precisa- 
d1,, 1) 
dc, y) 
mente Per ciò ad un gruppo: 
G, 3 (AP Xof, ...,Xf) 
