SUl GRUPPI CONTINUI FINITI DI TRASFORMAZIONI PROPORZIONALI 709 
derivando rispetto a «,, indi sommando rispetto ad è, otteniamo: 
l...n 
dE, dni doni dii 
d= >» | ri fi de cri 
dri dx, 
DES 
Ma ' la somma doppia è nulla perchè cangia segno permu- 
tando gli indici di sommazione è, \; resta dunque la formola 
— semplice: 
(6) Qg= AQ) — Y(29). 
Ne risulta in particolare che se 92£, ®, sono costanti sarà 
Qe= 0, cioò se i gruppi ad un parametro [Xf], [Yf] sono di 
trasformazioni proporzionali, l’altro (XY) è di trasformazioni 
equivalenti. Ne deduciamo quindi il teorema: 
Il gruppo derivato di un gruppo di trasformazioni propor- 
zionali è formato da trasformazioni tutte equivalenti. 
La stessa cosa segue anche da una proposizione di Killing (*) 
secondo la quale ogni trasformazione finita del gruppo derivato 
ha la forma: 
STS+T-, 
essendo S, 7" due convenienti trasformazioni del gruppo primitivo. 
Se infatti /, I, sono i moduli d’alterazione dei volumi delle S, T° 
rispettivamente, quello delle STS7 TT sarà I.IL .IT.IT=1 
Supponiamo ora che il gruppo G, sia un gruppo proprio 
di trasformazioni proporzionali e siano: 
Yl Ya, DOC) Yr 
dEsi 
. È facile ve- 
dxi 
i valori costanti delle corrispondenti £ = 
dere che, prendendo convenientemente le trasformazioni gene- 
ratrici X,f, si possono rendere nulle tutte le Y tranne una. Infatti 
finchè vi sono due ‘ non nulle, p. e. Y1, Ya, possiamo rendere 
nulla una di esse senza alterare le altre, sostituendo alla Xf 
laikifedf*; A Xsf. Supponiamo dunque già: 
ia=f= a 0, #0. 
(*) Lre-Excer, Bd. II, pag. 770. 
