710 LUIGI BIANCHI 
Le relazioni (5*) fra le costanti y dimostrano che sono nulle 
tutte le c,,, cioè: 
Caf, Xsf, dr ok) Aohif 
generano un G,_; invariante in G,, che ne contiene tutte e sole 
le trasformazioni equivalenti. Così siamo pervenuti in altro modo 
al teorema finale del n° 2. 
4. — Vogliamo ora invertire qui l’ultimo teorema, ciò che 
conduce a riconoscere le condizioni necessarie e sufficienti affinchè 
un dato gruppo G, sia traducibile in un gruppo di trasforma- 
zioni proporzionali. Dimostreremo per ciò che: Un gruppo G, è 
simile ad un gruppo di trasformazioni proporzionali se possiede 
un sottogruppo invariante G,_, simile ad un gruppo di trasforma- 
zioni equivalenti. 
Supponiamo già eseguito un cangiamento di variabili tale 
che G,_, consti di trasformazioni equivalenti e sia: 
Gi wi (X.f, Xof, DIGI) Ash 3 
avremo: 
Q= Ut = 0. 
Ora, poichè ogni trasformazione alternata (X;X.) per 
i= 1, 2, .... rv —1 appartiene a G,_, e quindi la corrispondente 2£ 
è nulla, risulta dalla (6) che si avrà: 
X;(2)=0, X(2)=0, ..., X(Q)=0; 
di qui risulta che £, è una costante ovvero un invariante di G,_,. 
Nel primo caso 
Ill 
ls (Aff, Xof, EE X,f, Xf) 
è già un gruppo di trasformazioni proporzionali come è enun- 
ciato nel teorema. 
Nel secondo caso dimostriamo che si raggiungerà lo scopo 
con una conveniente trasformazione di variabili: 
(7) at fe 23915 eg 
Per ciò osserviamo che se per questa trasformazione la 
trasformazione infinitesima qualunque: 
df 
Xf= Va 
f vale, 
i dxi 
‘ 
