712 LUIGI BIANCHI 
sono essi stessi invarianti di G,_,, cioè funzioni di w,, %a, ..., Us 
come ,. La (9) è adunque un’equazione lineare alle derivate 
parziali per w con s variabili w,, o, ..., v e può quindi sempre 
soddisfarsi, c. d. d. 
5. — È chiaro come si possono applicare i risultati pre- 
cedenti per ridurre la determinazione di tutti i possibili tipi di 
gruppi di trasformazioni proporzionali nello spazio a n dimen- 
sioni all’altra, supposta già risoluta, dei gruppi di trasforma- 
zioni equivalenti. Basterà per ciascuno di questi ultimi tipi 
cercare di ampliare il gruppo in guisa che il gruppo ampliato 
possegga un parametro di più e contenga il primitivo come 
sottogruppo invariante. 
Applichiamo p. e. questo processo alla determinazione di 
tutti i possibili tipi di gruppi proprii di trasformazioni propor- 
zionali nel piano, utilizzando la classificazione ottenuta nei ni 7, 8 
della nota precedente di gruppi di trasformazioni equivalenti 
nel piano. i 
Cominciamo dal ricercare se si possono ampliare i quattro 
tipi (a) (8) (7) (d) (n° 7, 1. e.) dei gruppi primitivi equivalenti. Il 
tipo (a) è dato da: 
(0) | pd, ©4, yP, p_yd) 
ed è il gruppo lineare speciale. Se con: 
Xf= Ep + nq 
indichiamo la sesta trasformazione di ampliamento, debbono in 
primo luogo le alternate: 
(p, £P+ n9); (g, EP+n9) 
comporsi, con coefficienti costanti, colle 5 trasformazioni di (a); 
dovranno per ciò sussistere formole del tipo: 
| 
dE ò 
da ++ e, dn = 0 +0 — y 
dE r Ò ' 
nnt +d'y+e'a, x =b'+4c'e—-eYy 
