826 GIOVANNI ZENO GIAMBELLI 
Osservando che se più funzioni 9! soddisfano all’equazione 
simbolica 
(2) hoy hi, sta) kh, i pi né pl A lo hi, Per h;i ’ 
soddisfa pure all’equazione (2) ogni funzione uguale alla somma, 
oppure al prodotto, delle dette funzioni, per una nota proprietà 
delle funzioni simmetriche si concluderà che all’equazione sim- 
bolica (2) soddisfano tutte le funzioni simmetriche razionali 
intere (*). 
(#) Detta 9!) una qualsiasi funzione simmetrica di grado &@ nelle x, 
posto hi= è (i=0,1,...,s), dalla (2) si deduce: 
2) gl) = FIA }0,1,...,81, 
dalla quale relazione risulta che @!) si esprime linearmente nelle funzioni 
simmetriche caratteristiche di grado @ nelle «. 
La formola (2') è il teorema I (teorema attribuito a P. Gorpan) della 
nota di E. D. Ror [Note on Symmetrie. Functions È American Journal of 
Math. ,, 25, 1903, pag. 97]. L’altro teorema contenuto in questa nota del Roe 
segue subito dal teorema I, applicando la formola duale di quella del Trupi 
(cfr. pag. 16). Il metodo usato dal Roe è affatto diverso da quello seguito 
nel nostro lavoro. La relazione (2) poi, nel caso in cui g sia una funzione 
simmetrica razionale intera, costituisce una formola contenuta implicita- 
mente in Murr [Determinanten, 1882, pag. 176, $ 129]. 
Dimostriamo ora che le funzioni simmetriche caratteristiche di grado d 
nelle x, x, ..., s sono linearmente indipendenti. 
Siccome tale proprietà è evidente qualunque sia d, se s=1, come 
pure qualunque sia s, se 4=1, basterà dimostrare che essa vale per 
s=s-+1(s21) d=d'+1(d=1), ammettendola vera per s=s,d=d'+1 
e pers=s' +1, d=d'—s'. 
Perciò supponiamo che esista una identità Ix+1="0 relativa alle fun- 
zioni simmetriche caratteristiche di grado d' +1 nelle x0,% ..., &st, Lst+l. 
Decomponiamo in due parti I'at1, I"a+1 il primo membro L+1 di questa 
identità; nella 1* parte I'a+1 porremo solo le funzioni simmetriche carat- 
teristiche } o, 24, ...,4s', Wsr41{( nelle quali X0=0, nella 2* le rimanenti, 
cioè quelle in cui 2, >0. Ora se esiste effettivamente la /'a-+1, poichè 
la Ir4, per £y41=0 diventa la Z'a+1 per xs41=0, si trae che dovrebbe 
esistere una identità nel caso di s=s, d=d'+-1, il che è assurdo per 
ipotesi. Se invece non esiste effettivamente la I'a+1, allora si potrà divi- 
dere la Zr+r per 2% ... t1sds11 e quindi dovrà esistere una identità di 
grado d'— s' nelle x, 21; ...,£*, Xs+1, il che è assurdo per ipotesi. Dunque 
è provata l’indipendenza lineare delle funzioni simmetriche caratteristiche 
dello stesso grado. 
Di qui si trae poi che la quistione enunciata in principio di questo 
