ALCUNE PROPRIETÀ DELLE FUNZIONI SIMMETRICHE, ECC. 833 
Coi simboli /,, Li, ecc. indichiamo funzioni razionali intere 
nelle funzioni simmetriche caratteristiche di s+1 lettere x0,%1;...,%,, 
oppure di d +1 lettere xo, 21, ..., vi, ecc. 
Sia /J=0; se in luogo di ogni funzione simmetrica caratte- 
ristica } lo; Hi; +..,%:{ contenuta in /, si pone la funzione sim- 
metrica caratteristica }0,1,..,.d—s—1, h+-d—s, h+d—s, ..., 
h4d—s{©) relativa alle d+1(4=s) lettere x, %,,..., 4, la 
funzione /, si muterà in un’altra /;. Se la /; risulta identica- 
mente nulla, allora l'identità 4y7=0 sarà chiamata l’identità I,=0 
estesa a d +1 lettere, oppure, più brevemente, l’identità estesa 
della ,,=0. Inoltre se /j=0 è l'identità Z=0 estesa a d+1 
(4=s) lettere, diremo che Z,=0 è Videntità JZ;=0 ridotta a 
S+1 lettere. Evidentemente poi la /,= 0, identità ridotta della 
li= 0, non è altro che la ZL =0, quando si faccia 
Coi Cats — et =. 
Dimostriamo la seguente proposizione: 
Se di un’ identità I, =0 di grado d nelle XG, Xi; As 6849Ì0 
l’identità estesa I_1=0, allora esisterà qualunque identità estesa 
Ig4,=0, essendo d'Zd — 1. 
Basterà provare che esiste l'identità estesa Iy11=0(d'2d—1), 
quando si ammetta l’esistenza dell’identità estesa Lr=0. Sia 
I6., ciò che diventa Ir, quando in luogo di ogni funzione sim- 
metrica caratteristica }/o, #1, ..., ha{ si ponga la funzione simme- 
trica caratteristica }0, ;o +1, R1+-1, ..., Ra: + 1{®, onde I‘), sarà 
una funzione simmetrica razionale intera nelle x0,x1,...,07, &241, 
che si annulla per x7+1= 0. Siccome il grado di /%); è minore 
di d'+2, si trae che non potrà esser divisibile per «741, perchè, 
essendo la /{., simmetrica nelle xo, x, ...; 221; t2-+1, dovrebbe 
esser pure divisibile per xo, per x, ecc.; quindi sarà identica- 
mente nulla, cioè l'identità I}, = 0 si potrà pensare come l’i- 
dentità estesa Zr41 = 0. 
Diremo che un'identità /,=0 di grado d nelle x0, 21,...,%; è 
indipendente, quando esiste l’identità estesa Z._,=0, e; di con- 
seguenza, quando esistono tutte le identità estese a qualsiasi 
numero di lettere. 
Quando è X,<s+#+1, diremo che la funzione simmetrica 
caratteristica }Mo, 7, ..., (4 nelle xo, 21, ...,7, ammette, quale 
funzione simmetrica caratteristica duale relativa alle t 4-1 lettere 
Atti della R. Accademia — Vol. XXXVIII. 56 
