ALCUNE PROPRIETÀ DELLE FUNZIONI SIMMETRICHE, ECC. 835 
5. — Applicazioni del principio di dualità. 
Se l'identità I,=0 nelle x0,,...,%; è indipendente e quindi 
ammette la Z"=0 come identità duale (cioè ottenuta col prin- 
cipio di dualità) nelle yo, %1; ---+4, allora la J/=0, se è indipen- 
dente, ammette la /,= 0 come identità duale relativa alle lettere 
Co, 1; +. %;. Per maggior uniformità nelle considerazioni seguenti 
diremo che la //=0 è una identità duale della I, =0, quando 
gode anche della proprietà di essere indipendente, oppure si 
trova nelle condizioni dell’osservazione fatta in fine al $ 4. Inoltre 
pure per uniformità potremo considerare, come identità duali 
tra loro, identità relative ad uno stesso gruppo di lettere, p. es. 
Co, Li; «+, d;; COSÌ il principio di dualità si può considerare come 
un'operazione simbolica ciclica di 2° ordine sulle identità sim- 
metriche di più lettere. 
Tenendo conto dell’osservazione fatta in fine al $ 4 è facile 
vedere che sono duali tra loro le due formole seguenti: 
VAR tal ù; (E Pen Àc (71 + ra + fa, — 541)! (SEYPA(SOY. (SA, 
tiro! .. rai! 
e e OT 
Tala ora! 
ove in entrambe le sommatorie si considerano tutti i valori po- 
sitivi o nulli delle variabili r per cui si ha 
rr4+2r°0 +... +(6$6+1)r41=%; 
nella prima formola % è un numero intero positivo qualunque; 
nella seconda invece deve essere 4 <= s + 1. Dalla seconda for- 
mola segue poi in particolare che essa vale anche se h>s+ 1, 
purchè si ponga lo zero in luogo di Sf); la prima formola si 
trova in un noto lavoro del Trupi (*). 
Per le ricerche del seguente $ è opportuno trovare la for- 
(*) Intorno ad un determinante più generale di quello delle radici delle 
equazioni ed alle funzioni omogenee complete di queste radici, © Giorn. di 
Matematiche ,, 2, 1864, Nota II, pag. 83. 
