I SISTEMI CANONICI D'EQUAZIONI AI DIFFERENZIALI, ECC. 941 
I sistemi canonici godono della proprietà di essere trasfor- 
mati gli uni negli altri da tutte le trasformazioni di contatto 
operate sulle variabili dipendenti, quand’anche tali trasformazioni 
contengano le variabili indipendenti. Nel gruppo infinito delle 
anzidette trasformazioni di contatto è contenuto un sottogruppo, 
pure di infinite trasformazioni, che lasciano invariato un sistema 
canonico arbitrariamente scelto; sicchè vi sono infinite trasfor- 
mazioni di contatto che convertono un sistema canonico proposto 
in un altro qualunque (*). 
Comunque si proceda all'integrazione di un sistema involu- 
torio d’equazioni alle derivate parziali del I. 0., o col metodo 
di Jacobi propriamente detto, oppure col metodo da me proposto 
nel 1883 all'Istituto Lombardo, come estensione del metodo di 
Mayer, o metodo di Cauchy che dir si voglia, si incontra sempre 
il sistema associato d’equazioni ai differenziali totali. Col primo 
procedimento di tal sistema occorre soltanto trovare un’integrale: 
proseguendo oltre collo stesso procedimento si formerà un altro 
analogo sistema involutorio con un’equazione di più, al quale è 
associato un sistema canonico con due variabili dipendenti in 
meno ma con una indipendente in più. Col secondo procedimento 
invece il sistema canonico associato è da integrarsi completa- 
mente. 
Colla considerazione del sistema canonico associato ad un 
sistema involutorio di equazioni a derivate parziali del I. O. anche 
il famoso teorema di Lie acquista la sua più generale, e contem- 
poraneamente più semplice, interpretazione. 
A parer mio la considerazione dei sistemi canonici introduce 
nella teoria delle equazioni a derivate parziali del I. O. una uni- 
formità e semplicità di metodo ed un’eleganza di forma che 
meritano di essere notate; per ciò mi permetto di segnalare 
all'Accademia i risultati delle mie ricerche sui sistemi canonici 
di equazioni ai differenziali totali, ponendoli in relazione colla 
teoria dei gruppi di trasformazioni. 
(*) Vi sono però anche infinite trasformazioni non di contatto che tras- 
formano in sè stesso, oppure in un altro qualunque, un sistema canonico 
proposto. Cfr. l’ultimo $ della seconda delle mie note ricordate e della 
presente. 
