I SISTEMI CANONICI D'EQUAZIONI AI DIFFERENZIALI, ECC. 949 
Ritenute variabili anche le #,, avremo: 
(12) Vadp—Y fdt = dd —Vfedt,, 
ove le f,* indicano delle funzioni delle p;*, gf e delle t,. 
Introducendo nel gruppo di trasformazioni (5), in luogo 
delle antiche p, g, le p*, g* sì ottiene un nuovo gruppo di tras- 
formazioni, simile all’ antico. E poichè il prodotto di trasfor- 
mazioni di contatto è sempre una trasformazione di contatto, 
concludiamo che il nuovo gruppo ha le stesse proprietà carat- 
teristiche dell’antico ed in particolare ogni sua trasformazione 
stabilisce una trasformazione di contatto tra le p;*, gif ed i loro 
valori iniziali. Adunque la più generale trasformazione infini- 
tesima del nuovo gruppo sarà ancora del tipo (3). 
Ciò fa prevedere che per qualsiasi trasformazione di con- 
tatto sulle pi, qi un sistema canonico d’equazioni ai differenziali 
totali si trasforma in un altro sistema pure canonico. 
Le (4) moltiplicate per le variazioni arbitrarie dg, — dpi e 
sommate insieme, tra di loro e per rapporto all’indice î, dànno: 
) gi dpi — dp:dg:) =) fdt, = dt,df,) ; 
quando si convenga di porre dt, = 0. 
Quest’equazione può scriversi: 
d i Vadp —Yfde, Sad Vac —Y fo 0 
e da essa si riottengono le (4) ponendo uguali a zero i coeffi- 
cienti di tutte le quantità dp,, dg; e di., giacchè quelle m equa- 
zioni che si ottengono dall’annullare i coefficienti delle òt, sono, 
a cagione delle (2), una conseguenza delle (4) (*). Di qui segue 
(*) Cfr. il $ 2 della mia Nota recente, già citata: Intorno ai sistemi di 
equaz. a deriv. parz. del I. O. in involuzione, nei “ Rend. dell'Istituto Lomb. » 
per l’annata in corso. 
