962 FRANCESCO GIUDICE 
Sulla integrazione per sostituzione. 
Nota di FRANCESCO GIUDICE. 
Nel N. 1 del Tomo VII della “ Revue de Mathématique , 
(Turin, 1902), a pag. 10 in un confronto bibliografico del Pro- 
fessore Prano, relativamente all'integrazione per sostituzione, si 
legge: “ Dalla Dm. pare risulti che non è necessaria la conti- 
nuità di v', supposta dall'A. e nel Formul. Questione a studiarsi ,. 
In questa Nota io dimostro che, quando la derivata è limi- 
tata superiormente ed inferiormente da numeri d’ugual segno, 
la sua continuità è condizione sufficiente per la validità della 
trasformazione dell’integrale; ma non è condizione necessaria, 
bastando p. es. che essa derivata sia integrabile; e stabilisco 
la condizione generale di validità della formola di trasforma- 
zione: 
[fa [er 
Suppongo che le funzioni considerate siano funzioni reali 
di variabile reale ed abbiano unico valore (finito) per ogni va- 
lore considerato della variabile da cui dipendono. Suppongo 
inoltre che sian limitate, per non entrare nella questione degli 
integrali improprii, che attualmente non m'interessa. 
1. — Indichiamo, ordinatamente, con z,, 8», ..., &,_,1 punti 
dividenti in n parti uguali il segmento a — BR ed indichiamo a 
con Z, e p con &,. Generalmente, se x, = @(£,) ed a=@(0) e 
b= @(8), i punti x, ...,%,_, non divideranno il segmento a + d 
in » parti uguali nè s’incontreranno ordinatamente andando da a 
a b, e potrà pur avvenire che non sian tutti interni ad ad; 
però, aumentando » indefinitamente, tenderanno a zero anche 
gli intervalli parziali x, x, perchè tendono a zero i corri- 
spondenti intervalli z, &,,, e di ha un valor finito in ogni 
punto dell'intervallo &°-E,, che si considera. 
