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SULLA INTEGRAZIONE PER SOSTITUZIONE 963 
2. — Osserviamo subito che potrebbe non esistere l'integrale 
trasformato, pur esistendo il primitivo; ciò si verifica p. es. se 
f(a)=1 e '(£) non è integrabile da a a Bf. 
Sussiste invece sicuramente l'integrale trasformato, se @'(£) è 
integrabile da a a B ed è limitata inferiormente e superiormente 
da numeri d’ugual segno. Essendo indifferente che '(z) abbia 
l’uno o l’altro segno, supponiamo infatti che @'(£) sia integrabile 
nell’intervallo a B e che suoi limiti inferiore e superiore, in 
quest’intervallo, siano i due numeri positivi ) e pu, per cui, se 
a<b, come supporremo, anche a<f£. Il limite superiore dei va- 
lori assoluti di f((£)) nell’intervallo a H+ f sia H. Pel teorema 
di LAGRANGE: 
Cmt1 — Ln = P'(0,m) (Eni AID fu) 
dove a, è un conveniente valore tra €, e En; Si ha quindi che: 
An 
Ata x sti 
E se fm®'m ed fnP'n sono i limiti superiore ed inferiore 
di f(9(£)) p'(£) nell'intervallo n Zn4 ed On, n ed €, son le 
oscillazioni di f(x) nell'intervallo 2n nu, di f(9(£)) p'(£) nel- 
l'intervallo €, — En41, e di @'() in questo medesimo intervallo, 
si ha che: 
pi A —_ fa i ga Tr fm Pm = 20 ini (ha. —fm) + Dm (Pm, “a P'm) 
hO naiea 
per cui: 
POLINI zt xo Api EL HZ} Agg 
Il primo termine del secondo membro tende a zero perchè 
f(x) è integrabile da @ a d, ed il secondo termine tende a zero 
perchè @'(z) è integrabile da a a 8; adunque: 
n_l 
imi, Az =0 
n=% 0 
| e così resta dimostrato che f(9(£)) p'(£) è integrabile da a a ft. 
Se '(#) è continua, i suoi limiti inferiore e superiore sono 
