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lp Lp Ei e e e 
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SULLA INTEGRAZIONE PER SOSTITUZIONE 965 
periore dei valori presi da f(9(£)) p'(z) mentre £ va da En a Ent 
Se ®'(£) non muta segno nell’intervallo E, Eni, 
ivo (e) da— AA, (08) 0' (AE 
Sm 
onde, per il primo teorema del valor medio, da applicarsi al 
secondo integrale, si può fissare (f@'), in modo d’avere che: 
[0 (de = (f0')n (En — Ha). 
E se 9’ muta segno nell’intervallo &, z,,,, allora vi si 
deve anche annullare perchè una funzione derivata, se ha valore 
finito in ogni punto d’un intervallo, nel medesimo non può pas- 
sare da un valore ad un altro senza prendere ogni valore inter- 
medio; per ciò si può porre zero per (f@').. E così: 
n 
2 [ml nel 7 P2r41 
z|" "far. (f0) E - = [ fd, 
la somma del secondo membro essendo estesa agli intervalli 
%, 14 X,41 Corrispondenti ai z,&,., nei quali muta segno ®'(£). 
Ne segue che: Se a = (a), b = (8) e sono integrabili f(x) dal 
minimo al massimo valore di (E) in aHp ed f(9(£)) p'(E) da 
a a B, allora per la validità della formula di trasformazione 
[/@a= [er va 
è necessario e sufficiente che, conurque sian dati un numero posi- 
tivo O ed un intero positivo m, si possa dare un intero n non mi- 
nore di m e tale che, essendo diviso l'intervallo a+ B in n parti 
uguali per mezzo dei punti E,, E2, ..., En, si abbia che: 
P(Sr-H1 
— 0< = | 
) 
DE) f(aA)de < 0, 
la somma riferendosi a quegli intervalli E, E, nei quali ®'(£) 
muta segno. 
