GENERALITÀ SULLE EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE 11 



pleti di quello trovato dal sig. Picard ; ed esposi^ in forma breve, 

 e usando le stesse sue notazioni, come, nelle ipotesi del Lip- 

 schitz, si dimostri anche l'unicità dell'integrale, di cui son dati 

 gli elementi iniziali; unicità che il Picard dimostrò poi nel 1893, 

 nel suo " Traité d'Analijse „, t. 2, p. 299, facendo l'ipotesi inutile 

 della continuità delle derivate. 



Limitandoci per un momento alle equazioni differenziali 

 lineari, la questione fu già da tempo completamente risolta, 

 poiché nella Nota " Integrazione 'per serie delle equazioni diffe- 

 renziali lineari „, presentata a questa Accademia il 20 febbr. 1887, 

 e riprodotta nei " Mathematische Annalen „^ a. 1888, io diedi 

 lo sviluppo dell'integrale in serie sempre convergente. Il teorema 

 dimostrato in questa Nota è il seguente: 



" Siano le equazioni differenziali lineari 





ClXn I 1 



~Tr ^nl ^1 1" ••• "l **nn ^n» 



(a) 



ove le r,j sono funzioni reali e continue della variabile i, in un 

 determinato intervallo p^ q. 



Si sostituiscano nei secondi membri di queste equazioni 

 alle X, delle costanti arbitrarie a■^^ a^ ... a„, e moltiplicati per 

 dt ^ si integrino fra ^o ^ t. Si otterranno n funzioni di t\ 

 «i' «2' ••• ^n'. Nei secondi membri delle equazioni proposte alle x 

 si sostituiscano le a', e si integri fra ^0 ^ ^; si otterranno le 

 nuove funzioni a/' c/g'' . . . «,/'• Da queste, collo stesso proce- 

 dimento, si dedurranno le ai'" ... «„'", e così via. Le w serie 



^1 = «1 -f «/ + «l" + - , •••• , ^n = «n + < + n',/' + ... (P) 



sono convergenti per ogni valore di t\ le loro somme sono gli 

 integrali delle equazioni proposte, che per ^ = ^0? assumono i 

 valori iniziali a^ ... a„ „. 



Il metodo con cui qui si formarono queste serie è quello 



