12 GIUSEPPE PEANO 



stesso che il sig. Picard nella Nota citata del 1891 chiamò 

 metodo delle approssimazioni successive, e che io preferirei chia- 

 mare delle integrazioni successive. Ma che questo metodo con- 

 duca al nostro caso a serie (P) sempre convergenti , fu dai 

 sigg. Lindelof e Picard ritrovato solo nel 1894; vedasi la Me- 

 moria pubblicata nel " Bulletin de la Société Mathém. „, p. 52, 

 avente per titolo " Sur la méthode des approximations successives, 

 et les équations différentielles ordinaires „. 



1 teoremi ora enunciati sulle equazioni differenziali lineari 

 non, furono da me trovati coll'uso dei numeri complessi d'or- 

 dine qualunque, e delle loro sostituzioni; il che ne semplifica 

 anche l'esposizione. 



La teoria dei q„, o numeri complessi d'ordine n si può ri- 

 tenere sufficientemente nota. Essa è contenuta ad es. nel For- 

 mulaire de Mathématiques, t. I, parte V, § 4 (Torino 1895). 



Le sostituzioni dei numeri complessi sono una estensione 

 delle sostituzioni finite studiate in Algebra; e sono meno note. 

 Ne esposi la teoria nell'ultimo capitolo del mio " Calcolo Geo- 

 metrico „ (Torino 1888), e varie proprietà nei lavori citati sulle 

 equazioni differenziali. Qui mi limiterò a richiamare le defini- 

 zioni principali. 



Dicesi sostituzione (o trasformazione lineare) dei q„, e in- 

 dicheremo con S„, ogni operazione da eseguirsi sui q„, il cui 

 risultato è pure un q„, ed avente la proprietà distributiva. 

 Questa proprietà distributiva è espressa dalle proporzioni 



r e S„ . a?, ?/ e q„ . o . r (a? + ^) = ra; -|- ry . 

 r e S„ . a? e q„ A e q . . r (Aiic) = A; {rx) , 



delle quali la seconda si deduce dalla prima per k razionale; 

 ma si deve fare qualche altra ipotesi, p. e. la continuità, per 

 dedurla per k irrazionale; onde è piìi semplice darla come defi- 

 nizione. La definizione simbolica di S„ è 



1. S„=(q„fq„) n re[x,yeq„.o^^y.r{x-\-y) = rx^ry: 



X e q„ . k e q . Q^^T, . r {kx) = k (rx)]. Df. 



Una S„ è data dando le n^ coordinate degli n elementi cor- 



