GENERALITÀ SULLE EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE 13 



rispondenti agli n elementi fondamentali; cioè è rappresentata 

 dalla matrice d'un determinante d'ordine n. 



Si definisce la somma e il prodotto di due sostituzioni: 



2. r, s eSn . xeq^.^ .(r -{-■ s)x = rx -\- sx Df. 



3. „ „ .0'{rs)x = r{sx). Df. 



Si dimostra che la somma di due S„ è pure una S„, e così 

 pure pel prodotto; e continuano a sussistere le proprietà com- 

 mutativa e associativa della somma, le proprietà associativa e 

 distributiva del prodotto; ma questo non ha la proprietà com- 

 mutativa, potendo essere rs diverso da sr. 



Nelle nostre questioni, e in tutte quelle in cui si passa al 

 limite, è conveniente introdurre la definizione del modulo d'una 

 sostituzione r. Esso è il massimo dei valori del rapporto 



(mod rn) j (mod x), ove x è un q„ qualunque. 



In simboli: 



4. r e S„ . . mod r = max )[(mod rx)l {mod x'] x q„( Df. 



e si dimostra l'esistenza di questo massimo, e le proprietà: 



5. r, s e S„ . 3 . mod (r -f- s) < mod r -f- mod s 



6. >. • • mod (rs) < mod r X mod s. 



I q„ sono anche detti punti nello spazio ad n dimensioni^ 

 e le S„, delle quali in Geometria si considera il solo prodotto, 

 ne sono le proiettività. È noto che ogni S„ ha n invarianti, dei 

 gradi 1, 2, ... n negli elementi suoi. Ci basta, per queste ri- 

 cerche, ricordare quello di grado massimo, che è detto il suo 

 determinante, poiché è il determinante della matrice che rap- 

 presenta la sostituzione, e che indicando con [x^ .X2 . . . Xn] il 

 prodotto progressivo degli n complessi d'ordine n, x^ X2 . . . x„, 

 secondo Grassmann, e con ii, . . . , i, gli elementi di riferimento, 

 viene espresso da: 



7. r e S„ . . determ r = [ri^ .ri^ ri„] IYh.h i„]. 



