14 GIUSEPPE PEANO 



Gli altri invarianti sono i coefficienti delle successive potenze 

 del numero reale k nello sviluppo di determ (r -|- A;)". E interes- 

 sante l'ultimo, di 1° grado, che indicheremo con inv r, e che è la 

 somma degli elementi che stanno nella sua diagonale principale: 



8. r e S„ . . inv r = )[rii . ig ••••«»] T" •• -4" [«i • *2 >'i]( / [*i -H i]- 



Ciò premesso, dicasi x il complesso {x^, x^ . . . x^); Q r la 

 sostituzione i cui elementi sono i coefficienti r^-. Allora le equa- 

 zioni date sono espresse da 



dx , ,\ 



— = ra;, (a) 



e l'integrale da 



X ---s (1 -i- J rdt \^lrdt\rdt^\rdt\ rdt ^rdt-^ ...)a, (R') 



ove gli integrali sono presi fra Iq e t, ed a e il valore iniziale 

 del complesso x. Nella mia Nota sta pure dimostrato che se si 

 pone m=inodr {t — ^0)5 i termini della serie entro parentesi 

 sono minori dei corrispondenti termini della serie esponenziale 



onde si deduce la convergenza assoluta della serie (P'), e la sua 

 convergenza equabile sia variando t in un intervallo finito, sia 

 variando la sostituzione r in un campo, in cui il limite superiore 

 dei valori del suo modulo sia finito. 

 Pongasi 



E ir , to, t) = l -\- j r d t -{- ^ r d t j r d t -{- . . . 



allora l'integrale x della (a'), che per t = to ha il valore a , sarà 

 dato da 



x = 'E{r, Ìq, t) a. 



'E(r,tQ,t) è una nuova sostituzione, le cui principali pro- 

 prietà sono enunciate nella mia Nota del 1888 (" Math. Ann. „, 

 t. 32, p. 456). Qui basti ricordare che se w = 1 , e più in ge- 

 nerale se i varii valori di r sono commutabili fra loro, E (r, t^, t) 

 vale el'"'^'. 



Si ha poi sempre 



Determ E (r, ^0, = e P»^»"^'. 



